Sejam e subespaços de .
(b) Encontre uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois subespaços de três dimensões, e . Nosso objetivo é encontrar uma base para a soma desses subespaços, , e também determinar a dimensão desse espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, dimensão e como somar subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as bases de e individualmente.
Para , podemos reescrever a equação como . Assim, podemos expressar em termos de e :
Então, uma base para é .
Para , podemos reescrever como . Assim:
Então, uma base para é .
Passo 3
Agora, para encontrar , precisamos considerar todas as combinações possíveis dos vetores de e . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como:
Vamos juntar esses vetores em uma matriz para verificar a linearidade:
Agora, vamos realizar operações de linha para simplificar e encontrar vetores linearmente independentes.
Passo 4
Realizando operações de linha na matriz:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1
Subtraímos a primeira linha da terceira:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -2 & 1
Essa matriz está em forma escalonada, e podemos ver que há três pivôs, o que significa que os três primeiros vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Assim, uma base para , (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) , é formada pelos três vetores:
A dimensão de é o número de vetores na base, que nesse caso é 3.