Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mostrar que os polinômios , , e geram . Isso significa que qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como uma combinação desses quatro polinômios. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e geração de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é . Esse é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Ou seja, qualquer polinômio nesse espaço tem a forma , onde são números reais.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que qualquer polinômio pode ser escrito como uma combinação dos polinômios , , e . Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:
Passo 4
Vamos expandir os termos e para facilitar a comparação:
Agora, substituindo na combinação linear:
Passo 5
Vamos reorganizar os termos:
Comparando com , obtemos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar b3 = -a3 :