• Mostre que os polinômios 1,1-x,(1-x)^2,(1-x)^3 geram P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mostrar que os polinômios , , e geram . Isso significa que qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como uma combinação desses quatro polinômios. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e geração de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Esse é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Ou seja, qualquer polinômio nesse espaço tem a forma , onde são números reais.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que qualquer polinômio p(x) = b0 cdot 1 + b1 cdot (1 - x) + b2 cdot (1 - x)^2 + b3 cdot (1 - x)^3 pode ser escrito como uma combinação dos polinômios , , e . Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:

Passo 4

Vamos expandir os termos (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 e (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 para facilitar a comparação:
p(x) = b0 + b1(1 - x) + b2(1 - 2x + x^2) + b3(1 - 3x + 3x^2 - x^3)
Agora, substituindo na combinação linear:

Passo 5

Vamos reorganizar os termos:
p(x) = (b0 + b1 + b2 + b3) + (-b1 - 2b2 - 3b3)x + (b2 + 3b3)x^2 + (-b3)x^3
Comparando com b0 + b1 + b2 + b3 = a0 -b1 - 2b2 - 3b3 = a1 b2 + 3b3 = a2 - b3 = a3 , obtemos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar b3 = -a3 :
b2 + 3(-a3) = a2 implies b2 = a2 + 3a3
Substituindo na terceira equação:
-b1 - 2(a2 + 3a3) - 3(-a3) = a1 implies -b1 - 2a2 - 6a3 + 3a3 = a1 implies -b1 = a1 + 2a2 + 3a3 implies b1 = -a1 - 2a2 - 3a3
Substituindo b0 + (-a1 - 2a2 - 3a3) + (a2 + 3a3) + (-a3) = a0 implies b0 = a0 + a1 + a2 + a3 e na segunda equação:
Finalmente, substituindo todos os valores na primeira equação:

Resposta

Assim, qualquer polinômio p(x) = (a0 + a1 + a2 + a3)cdot 1 + (-a1 - 2a2 - 3a3)cdot (1 - x) + (a2 + 3a3)cdot (1 - x)^2 + (-a3)cdot (1 - x)^3 pode ser escrito como:
Portanto, os polinômios , , e realmente geram .

Exercícios relacionados