Para cada um dos subconjuntos S subset V, onde V é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, [S] :
© S=(1,2,3),(0,0,2),(-2,-4,-2), V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o subespaço gerado pelo conjunto no espaço vetorial . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e spans. Para resolver, vamos precisar entender como combinar esses vetores para formar o subespaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa gerar um subespaço com um conjunto de vetores. O subespaço a(1,2,3) + b(0,0,2) + c(-2,-4,-2) é formado por todas as combinações lineares dos vetores em . Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes ou se algum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Se algum vetor for redundante, podemos simplificar a formação do subespaço. Vamos montar uma matriz com esses vetores e ver o posto (rank) dela:
1 & 2 & 3 0 & 0 & 2 -2 & -4 & -2
Vamos fazer operações de linha para simplificar.

Passo 4

Primeiro, observamos que a terceira linha é igual a -2 times (1,2,3) = (-2,-4,-6) vezes a primeira linha:
Mas na terceira linha temos , que não é igual. Isso significa que os vetores não são múltiplos diretos. Porém, ainda precisamos verificar se há uma combinação linear que zere uma das linhas.

Passo 5

Vamos tentar expressar o terceiro vetor como combinação dos dois primeiros. Queremos encontrar a(1,2,3) + b(0,0,2) = (-2,-4,-2) e a = -2 2a = -4 3a + 2b = -2 tais que:
3(-2) + 2b = -2 Rightarrow -6 + 2b = -2 Rightarrow 2b = 4 Rightarrow b = 2
Isso dá o sistema:
Da primeira equação, . Da segunda, , que confirma. Substituindo na terceira:
Então, o terceiro vetor é uma combinação dos dois primeiros: .

Passo 6

Isso significa que o terceiro vetor não adiciona nenhuma nova dimensão ao subespaço gerado. Portanto, podemos concluir que o subespaço (1,2,3) e (0,0,2) é gerado apenas pelos dois primeiros vetores:

Resposta

O subespaço gerado por [S] = a(1,2,3) + b(0,0,2) mid a, b in R é o conjunto de todas as combinações lineares de e , ou seja:

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