Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o subespaço gerado pelo conjunto no espaço vetorial . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e spans. Para resolver, vamos precisar entender como combinar esses vetores para formar o subespaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa gerar um subespaço com um conjunto de vetores. O subespaço é formado por todas as combinações lineares dos vetores em . Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
onde são números reais.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes ou se algum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Se algum vetor for redundante, podemos simplificar a formação do subespaço. Vamos montar uma matriz com esses vetores e ver o posto (rank) dela:
Vamos fazer operações de linha para simplificar.
Passo 4
Primeiro, observamos que a terceira linha é igual a -2 times (1,2,3) = (-2,-4,-6) vezes a primeira linha:
Mas na terceira linha temos , que não é igual. Isso significa que os vetores não são múltiplos diretos. Porém, ainda precisamos verificar se há uma combinação linear que zere uma das linhas.
Passo 5
Vamos tentar expressar o terceiro vetor como combinação dos dois primeiros. Queremos encontrar a(1,2,3) + b(0,0,2) = (-2,-4,-2) e a = -2 2a = -4 3a + 2b = -2 tais que:
Da primeira equação, . Da segunda, , que confirma. Substituindo na terceira:
Então, o terceiro vetor é uma combinação dos dois primeiros: .
Passo 6
Isso significa que o terceiro vetor não adiciona nenhuma nova dimensão ao subespaço gerado. Portanto, podemos concluir que o subespaço (1,2,3) e (0,0,2) é gerado apenas pelos dois primeiros vetores:
Resposta
O subespaço gerado por [S] = a(1,2,3) + b(0,0,2) mid a, b in R é o conjunto de todas as combinações lineares de e , ou seja: