Obter uma base para R^4 que contenha os vetores (1,0,1,0) e (0,1,-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o espaço que inclua os vetores e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores dados são independentes e então encontrar mais dois vetores que, juntos com os que já temos, formem uma base completa para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , precisamos de 4 vetores que não sejam combinações lineares uns dos outros.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores dados, a(1,0,1,0) + b(0,1,-1,0) = (0,0,0,0) e a = 0 b = 0 a - b = 0 0 = 0 , são linearmente independentes. Para isso, imaginamos uma combinação linear deles igual a zero:
Isso resulta no sistema:
A única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar mais dois vetores que, juntos com os vetores dados, formem uma base para . Uma estratégia simples é escolher vetores que completem as coordenadas faltantes e que também sejam independentes dos vetores já existentes.
Podemos escolher e . Vamos verificar se esses vetores são independentes em relação aos anteriores.

Passo 5

Vamos montar a matriz com os quatro vetores e calcular seu determinante para garantir que são linearmente independentes:
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
O determinante dessa matriz é diferente de zero (especificamente, é 1), o que confirma que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Resposta

Uma base para , (1,,0,,1,,0), (0,,1,,-1,,0), (0,,0,,0,,1), (0,,0,,1,,0) , que contém os vetores dados é:

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