Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o espaço que inclua os vetores e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores dados são independentes e então encontrar mais dois vetores que, juntos com os que já temos, formem uma base completa para .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , precisamos de 4 vetores que não sejam combinações lineares uns dos outros.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores dados, e , são linearmente independentes. Para isso, imaginamos uma combinação linear deles igual a zero:
Isso resulta no sistema:
A única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar mais dois vetores que, juntos com os vetores dados, formem uma base para . Uma estratégia simples é escolher vetores que completem as coordenadas faltantes e que também sejam independentes dos vetores já existentes.
Podemos escolher e . Vamos verificar se esses vetores são independentes em relação aos anteriores.
Passo 5
Vamos montar a matriz com os quatro vetores e calcular seu determinante para garantir que são linearmente independentes:
O determinante dessa matriz é diferente de zero (especificamente, é 1), o que confirma que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .
Resposta
Uma base para , (1,,0,,1,,0), (0,,1,,-1,,0), (0,,0,,0,,1), (0,,0,,1,,0) , que contém os vetores dados é: