Os polinômios p0(t)=1, p1(t)=t e p2(t)=t^2 formam uma base ordenada para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Determinar as coordenadas do polinômio p(t)=5-2 t+7 t^2 em relação a esta base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um polinômio e nos diz que temos uma base ordenada formada pelos polinômios , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse polinômio em relação a essa base. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases de espaços vetoriais e como expressar um vetor (ou polinômio, nesse caso) em termos dessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou polinômios) que são linearmente independentes e que qualquer vetor (ou polinômio) desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
No nosso caso, a base é composta por a cdot p0(t) + b cdot p1(t) + c cdot p2(t) , e . Isso significa que qualquer polinômio de grau menor ou igual a 2 pode ser escrito como:
onde , e são coordenadas que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos escrever o polinômio p(t) = a cdot 1 + b cdot t + c cdot t^2 como uma combinação linear dos polinômios da base:
a = 5 b = -2 c = 7
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes em ambos os lados da equação, temos:

Passo 4

Então, as coordenadas do polinômio em relação à base são os valores de , e que encontramos.

Resposta

As coordenadas do polinômio em relação à base dada são .

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