Para cada superfície abaixo, determine uma parametrização r(u, v). Em particular, especifique o domínio D da parametrização.
(i) O cilindro circular X com equação x^2 + y^2 = 1; (ii) a porção X1 do cilindro X compreendida entre o plano x y e o plano z = 1; (iii) a porção X2 do cilindro X compreendida entre o plano x y e o plano x + y + z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde precisamos encontrar parametrizações para diferentes partes de um cilindro circular com a equação . A matéria aqui envolve geometria analítica e parametrizações de superfícies no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar cilindros em termos de funções vetoriais e também definir os domínios dessas parametrizações para cada caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar da parte (i): encontrar uma parametrização para o cilindro circular X com a equação .
Um cilindro circular pode ser parametrizado usando coordenadas polares para as coordenadas x e y, e deixando a coordenada z livre para variar ao longo do cilindro. A ideia é expressar x e y em termos de um ângulo theta, e usar outro parâmetro z para cobrir toda a extensão vertical do cilindro.
Então, a parametrização fica:
Aqui, u representa o ângulo ao redor do cilindro, variando de 0 a , e v representa a altura ao longo do eixo z, podendo variar de -infinito a infinito (ou dentro de algum intervalo específico, dependendo da aplicação).
O domínio D para essa parametrização é:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (ii): encontrar uma parametrização para a porção X1 do cilindro X que está entre o plano xy e o plano .
Já temos a parametrização geral do cilindro. Para restringir essa parametrização entre dois planos, precisamos limitar o valor de z. O plano xy é onde , e o outro plano é . Portanto, v deve variar de 0 a 1.
Assim, a parametrização para X1 fica:
E o domínio D é:

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte (iii): encontrar uma parametrização para a porção X2 do cilindro X que está entre o plano xy e o plano .
Primeiro, já sabemos que no plano xy, . Agora, vamos encontrar até onde o z varia até o plano . Para isso, precisamos expressar z em termos de x e y usando a equação do plano.
A equação do plano pode ser rearranjada para resolver z:
Sabendo que e na parametrização do cilindro, substituímos na equação de z:
Portanto, para cada u, o valor de v (que representa z) varia de 0 até .
A parametrização fica:
E o domínio D é:

Resposta

Segue as parametrizações solicitadas:
  1. Parte (i):
  2. Parte (ii):
  3. Parte (iii):

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