Para cada superfície abaixo, determine uma parametrização r(u, v). Em particular, especifique o domínio D da parametrização.
A porção do plano 2 x + 3 y + 4 z = 5 delimitada pelos planos x=0, x=1, z=0, z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar uma porção do plano dada pela equação , que está limitada pelos planos , , e . Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de superfícies no espaço tridimensional. Precisamos encontrar uma função vetorial que descreva todos os pontos dessa porção do plano, além de definir o domínio dos parâmetros e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma superfície. Parametrizar significa expressar as coordenadas de cada ponto da superfície em função de dois parâmetros, geralmente chamados de e . Ou seja, queremos encontrar funções , e que satisfazem a equação do plano.

Passo 3

Dada a equação do plano , podemos escolher uma das variáveis para ser expressa em função das outras duas. Vamos decidir tratar e como parâmetros independentes, ou seja, vamos definir e . Assim, podemos resolver para em termos de e .

Passo 4

Substituindo e na equação do plano:
Agora, resolvemos para :

Passo 5

Assim, nossa parametrização fica:

Passo 6

Agora, precisamos definir o domínio dos parâmetros e de acordo com as restrições dadas pelos planos , , e . Como definimos e , temos:

Passo 7

Portanto, o domínio é o conjunto de todos os pares onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 1. Geometricamente, isso corresponde a um quadrado no plano .

Resposta

A parametrização da porção do plano delimitada pelos planos , , e é dada por:
com o domínio da parametrização:

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