Para cada superfície abaixo, determine uma parametrização
. Em particular, especifique o domínio
da parametrização.
A porção do plano
delimitada pelos planos
.
A porção do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar uma porção do plano dada pela equação
, que está limitada pelos planos
,
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de superfícies no espaço tridimensional. Precisamos encontrar uma função vetorial
que descreva todos os pontos dessa porção do plano, além de definir o domínio
dos parâmetros
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma superfície. Parametrizar significa expressar as coordenadas
de cada ponto da superfície em função de dois parâmetros, geralmente chamados de
e
. Ou seja, queremos encontrar funções
,
e
que satisfazem a equação do plano.
Passo 3
Dada a equação do plano
, podemos escolher uma das variáveis para ser expressa em função das outras duas. Vamos decidir tratar
e
como parâmetros independentes, ou seja, vamos definir
e
. Assim, podemos resolver para
em termos de
e
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação do plano:
Agora, resolvemos para
:
Passo 5
Assim, nossa parametrização fica:
Passo 6
Agora, precisamos definir o domínio
dos parâmetros
e
de acordo com as restrições dadas pelos planos
,
,
e
. Como definimos
e
, temos:
Passo 7
Portanto, o domínio
é o conjunto de todos os pares
onde
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a 1. Geometricamente, isso corresponde a um quadrado no plano
.
Resposta
A parametrização da porção do plano
delimitada pelos planos
,
,
e
é dada por:
com o domínio da parametrização:
Exercícios relacionados
Seja
a esfera
. Calcule:
A área da calota de altura (com respeito ao polo norte) em
.
A área da calota de altura
Determine, se existir, os seguintes limites:
(f)
(f)
Para cada superfície abaixo, determine uma parametrização
. Em particular, especifique o domínio
da parametrização.
(i) O cilindro circular com equação
; (ii) a porção
do cilindro
compreendida entre o plano
e o plano
; (iii) a porção
do cilindro
compreendida entre o plano
e o plano
.
(i) O cilindro circular
Expresse as seguintes dízimas periódicas como frações.
b)
b)