Considere a hélice C = { ( cos(t), sen(t), t ), t em R }. O helicoide X que contém C é a superfície obtida ao juntarmos, a cada ponto P in C, a reta que une P ao ponto de mesma altura no eixo da hélice ( o eixo dos z ). Isto é, tal helicoide é a união destas retas.
Faça um desenho desta superfície e mostre que X consiste dos pontos da forma (u cos(v), u sen(v), v) (u, v em R).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma hélice definida por . A partir dessa hélice, queremos construir uma superfície chamada helicoide . Essa superfície é feita ligando, para cada ponto na hélice , uma reta que vai de até o ponto de mesma altura no eixo dos (ou seja, no eixo vertical). Basicamente, vamos criar uma superfície que junta todas essas retas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície usando dois parâmetros, digamos e .

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como construir essa superfície . A hélice é parametrizada por , que controla a posição ao longo da hélice. Queremos adicionar outro parâmetro, , que vai variar ao longo da reta que liga cada ponto da hélice ao eixo dos . Assim, para cada valor fixo de (ou , se preferir trocar a letra), controla a movimentação do ponto ao longo dessa reta. Quando , estamos no ponto no eixo dos , e quando , chegamos ao ponto na hélice .

Passo 3

Agora, vamos expressar as coordenadas de um ponto qualquer na superfície usando os parâmetros e . Sabemos que na hélice , as coordenadas são . Queremos ligar esse ponto ao ponto no eixo dos , que tem coordenadas . Então, a posição de qualquer ponto na reta que liga esses dois pontos pode ser escrita como uma combinação linear:
Aqui, varia de a , mas como queremos cobrir toda a superfície, deixamos variar em .

Passo 4

Com essa parametrização, mostramos que qualquer ponto na superfície pode ser representado como , onde e são números reais. Isso significa que é composta exatamente por todos os pontos desse formato, cobrindo assim toda a superfície helicoide definida pela hélice e as retas que ligam ao eixo dos .

Resposta

A superfície helicoide consiste nos pontos da forma para todos os números reais e .

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