Considere a hélice
. O helicoide
que contém
é a superfície obtida ao juntarmos, a cada ponto
, a reta que une
ao ponto de mesma altura no eixo da hélice ( o eixo dos
). Isto é, tal helicoide é a união destas retas.
Faça um desenho desta superfície e mostre que
consiste dos pontos da forma
.
Faça um desenho desta superfície e mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma hélice definida por . A partir dessa hélice, queremos construir uma superfície chamada helicoide
. Essa superfície é feita ligando, para cada ponto
na hélice
, uma reta que vai de
até o ponto de mesma altura no eixo dos
(ou seja, no eixo vertical). Basicamente, vamos criar uma superfície que junta todas essas retas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície
usando dois parâmetros, digamos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como construir essa superfície
. A hélice
é parametrizada por
, que controla a posição ao longo da hélice. Queremos adicionar outro parâmetro,
, que vai variar ao longo da reta que liga cada ponto da hélice ao eixo dos
. Assim, para cada valor fixo de
(ou
, se preferir trocar a letra),
controla a movimentação do ponto ao longo dessa reta. Quando
, estamos no ponto no eixo dos
, e quando
, chegamos ao ponto na hélice
.
Passo 3
Agora, vamos expressar as coordenadas de um ponto qualquer na superfície
usando os parâmetros
e
. Sabemos que na hélice
, as coordenadas são . Queremos ligar esse ponto ao ponto no eixo dos
, que tem coordenadas
. Então, a posição de qualquer ponto na reta que liga esses dois pontos pode ser escrita como uma combinação linear:
Aqui,
varia de
a
, mas como queremos cobrir toda a superfície, deixamos
variar em
.
Passo 4
Com essa parametrização, mostramos que qualquer ponto na superfície
pode ser representado como , onde
e
são números reais. Isso significa que
é composta exatamente por todos os pontos desse formato, cobrindo assim toda a superfície helicoide definida pela hélice
e as retas que ligam
ao eixo dos
.
Resposta
A superfície helicoide
consiste nos pontos da forma para todos os números reais
e
.
Exercícios relacionados
Expresse as seguintes dízimas periódicas como frações.
b)
b)
Para cada superfície abaixo, determine uma parametrização
. Em particular, especifique o domínio
da parametrização.
(i) O cilindro circular com equação
; (ii) a porção
do cilindro
compreendida entre o plano
e o plano
; (iii) a porção
do cilindro
compreendida entre o plano
e o plano
.
(i) O cilindro circular
Considere a hélice
. O helicoide
que contém
é a superfície obtida ao juntarmos, a cada ponto
, a reta que une
ao ponto de mesma altura no eixo da hélice ( o eixo dos
). Isto é, tal helicoide é a união destas retas.
Determine o plano tangente à superfície no ponto
, escrevendo tanto as equações paramétricas como a equação cartesiana deste plano.
Determine o plano tangente à superfície
a)