Seja
a esfera
. Calcule:
A área da calota de altura
(com respeito ao polo norte) em
.
A área da calota de altura
Passo 1
Então, a gente tem uma esfera definida pela equação
e precisamos calcular a área da calota esférica de altura
em relação ao polo norte dessa esfera. Vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre esferas e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma calota esférica. Imagine que você tem uma esfera e corta uma parte dela com um plano horizontal, criando uma “tampa” no topo. Essa “tampa” é a calota esférica, e a altura
é a distância do corte até o polo norte da esfera.
Passo 3
Agora, para encontrar a área dessa calota, usamos uma fórmula específica. A área
da calota esférica pode ser calculada pela fórmula:
onde:
-
é o raio da esfera, -
é a altura da calota.
Passo 4
Vamos entender por que essa fórmula funciona. A ideia é que a área da calota é proporcional à altura
e ao raio
da esfera. O fator
vem da relação com a circunferência da esfera.
Passo 5
Então, substituindo os valores que temos na fórmula, conseguimos diretamente a área da calota esférica.
Resposta
A área da calota de altura
na esfera
é
.
Exercícios relacionados
Determine, se existir, os seguintes limites:
(f)
(f)
Calcule a derivada de
usando técnicas de cálculo 1. Depois, calcule novamente usando a função
e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Para cada superfície abaixo, determine uma parametrização
. Em particular, especifique o domínio
da parametrização.
A porção do plano delimitada pelos planos
.
A porção do plano
Para cada superfície abaixo, determine uma parametrização
. Em particular, especifique o domínio
da parametrização.
(i) O cilindro circular com equação
; (ii) a porção
do cilindro
compreendida entre o plano
e o plano
; (iii) a porção
do cilindro
compreendida entre o plano
e o plano
.
(i) O cilindro circular