Seja X a esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2. Calcule:
A área da calota de altura h (com respeito ao polo norte) em X.

Passo 1

Então, a gente tem uma esfera definida pela equação e precisamos calcular a área da calota esférica de altura em relação ao polo norte dessa esfera. Vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre esferas e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma calota esférica. Imagine que você tem uma esfera e corta uma parte dela com um plano horizontal, criando uma “tampa” no topo. Essa “tampa” é a calota esférica, e a altura é a distância do corte até o polo norte da esfera.

Passo 3

Agora, para encontrar a área dessa calota, usamos uma fórmula específica. A área da calota esférica pode ser calculada pela fórmula:
onde:
  • é o raio da esfera,
  • é a altura da calota.

Passo 4

Vamos entender por que essa fórmula funciona. A ideia é que a área da calota é proporcional à altura e ao raio da esfera. O fator vem da relação com a circunferência da esfera.

Passo 5

Então, substituindo os valores que temos na fórmula, conseguimos diretamente a área da calota esférica.

Resposta

A área da calota de altura na esfera é .

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Determine, se existir, os seguintes limites:
(f) lim a -2 raiza(a-1)
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