(a) Determine o(s) valor(es) de t in R para o(s) qual(quais) a matriz A(t) é invertível;
(b) Para (o)s valor(es) de t encontrado(s) no item anterior, determine a inversa de A(t).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma matriz que depende de um parâmetro . O objetivo é descobrir para quais valores de essa matriz é invertível e, depois, encontrar a inversa quando ela existir. Para isso, vamos utilizar conceitos de determinantes e inversão de matrizes, que são partes fundamentais da álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando uma matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso primeiro passo é calcular o determinante da matriz e ver para quais valores de ele não é zero.
Para calcular o determinante dessa matriz, observamos que ela é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 4
Então, calculando o determinante:
det(A(t)) = 1 times t times t times 1 = t^2
Isso porque os elementos da diagonal principal são 1, , e 1.
Passo 5
Agora, queremos que a matriz seja invertível, então precisamos que t^2 neq 0 implies t neq 0 :
Então, para qualquer valor de diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 6
Passando para o item (b), agora que sabemos que é invertível quando , vamos encontrar a inversa . Para isso, vamos utilizar o método de blocos, já que a matriz possui uma estrutura que facilita esse procedimento.
Passo 7
Observando a matriz A(t) = B & 0 C & D , vemos que ela pode ser dividida em blocos:
B = 1 & 0 0 & t , C = 0 & 0 0 & 0 , D = t & 1 1 & 1
Onde:
A(t)^-1 = B^-1 & 0 - D^-1 C B^-1 & D^-1
Para uma matriz em blocos dessa forma, se A(t)^-1 = B^-1 & 0 0 & D^-1 e forem invertíveis, a inversa de é dada por:
Como é uma matriz zero, a fórmula simplifica para:
Passo 8
Vamos calcular B = 1 & 0 0 & t implies B^-1 = 1 & 0 0 & 1t e individualmente.
Primeiro, :
Isso porque a inversa de uma matriz diagonal é simplesmente a matriz com os elementos da diagonal invertidos.
Passo 9
Agora, vamos calcular det(D) = t times 1 - 1 times 1 = t - 1 . Primeiro, encontramos o determinante de :
Como e queremos invertível, precisamos que também , ou seja, .
Passo 10
Assumindo que D^-1 = 1det(D) 1 & -1 -1 & t = 1t - 1 1 & -1 -1 & t , a inversa de é: