Dados os vetores , calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por e ;
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de vetores! A gente tem dois vetores, e , e precisamos calcular duas coisas:
a) A área do paralelogramo formado por esses vetores.
b) A altura desse paralelogramo em relação à base definida pelo vetor .
Pra isso, vamos usar conceitos de produto vetorial para a área e um pouquinho de geometria para a altura.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do paralelogramo. Sabemos que a área de um paralelogramo formado por dois vetores e é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Então, vamos calcular o produto vetorial .
Passo 3
O produto vetorial de e é calculado assim:
Calculando o determinante:
= i(-5) - j(7) + k(4)
= (-5, -7, 4)
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultado para obter a área:
Então, a área do paralelogramo é unidades quadradas.
Passo 5
Agora, para encontrar a altura A = base times a do paralelogramo relativa à base |u| = raiz3^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14 , usamos a fórmula da área:
h = A|u| = 3raiz10raiz14 = 3raiz10raiz14 times raiz14raiz14 = 3raiz14014 = 3raiz4 times 3514 = 3 times 2 raiz3514 = 6raiz3514 = 3raiz357
Aqui, a base é o módulo de :
Então, rearranjando para encontrar a altura:
Resposta
a) A área do paralelogramo é unidades quadradas.
b) A altura relativa à base é unidades.