Dados os vetores u=(3,-1,2), v=(-2,2,1), calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por u e v;
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de vetores! A gente tem dois vetores, e , e precisamos calcular duas coisas:
a) A área do paralelogramo formado por esses vetores.
b) A altura desse paralelogramo em relação à base definida pelo vetor .
Pra isso, vamos usar conceitos de produto vetorial para a área e um pouquinho de geometria para a altura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do paralelogramo. Sabemos que a área A = |u times v| de um paralelogramo formado por dois vetores e é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Então, vamos calcular o produto vetorial .

Passo 3

O produto vetorial de u times v = i & j & k 3 & -1 & 2 -2 & 2 & 1 e u times v = i((-1)(1) - (2)(2)) - j((3)(1) - (2)(-2)) + k((3)(2) - (-1)(-2)) é calculado assim:
= i(-1 - 4) - j(3 + 4) + k(6 - 2)
Calculando o determinante:
= i(-5) - j(7) + k(4)
= (-5, -7, 4)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultado para obter a área:
A = raiz(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2 = raiz25 + 49 + 16 = raiz90 = 3raiz10
Então, a área do paralelogramo é unidades quadradas.

Passo 5

Agora, para encontrar a altura A = base times a do paralelogramo relativa à base |u| = raiz3^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14 , usamos a fórmula da área:
h = A|u| = 3raiz10raiz14 = 3raiz10raiz14 times raiz14raiz14 = 3raiz14014 = 3raiz4 times 3514 = 3 times 2 raiz3514 = 6raiz3514 = 3raiz357
Aqui, a base é o módulo de :
Então, rearranjando para encontrar a altura:

Resposta

a) A área do paralelogramo é unidades quadradas.
b) A altura relativa à base é unidades.

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