Considere um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
(ccccc 1 & 1 & 0 & 1 & 1 0 & (alpha-1) alpha & alpha & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & alpha-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1) alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução. Nos casos em que o sistema tiver solução, determine o conjunto solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema linear, que é basicamente um conjunto de equações que queremos resolver juntas. A matriz aumentada desse sistema está na forma escalonada, o que facilita nossa análise. Vamos precisar entender sobre sistemas de equações lineares, formas escalonadas de matrizes e determinantes para descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz aumentada dada:
(ccccc 1 & 1 & 0 & 1 & 1 0 & (alpha-1) alpha & alpha & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & alpha-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1) alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
Essa matriz representa o sistema de equações já simplificado. Cada linha corresponde a uma equação, e as colunas representam os coeficientes das variáveis e o termo independente (à direita da última coluna).

Passo 3

Para determinar o tipo de soluções que o sistema tem, precisamos analisar os pivôs (os primeiros números não nulos de cada linha da matriz escalonada) e verificar se há contradições.
  • Se em alguma linha temos todos os coeficientes zero e o termo independente não for zero, isso significa que a equação é impossível, ou seja, não há solução.
  • Se todas as variáveis têm pivôs, o sistema tem uma única solução.
  • Se há pelo menos uma variável sem pivô, o sistema tem infinitas soluções.

Passo 4

Vamos analisar cada linha:
  1. Primeira linha: Temos um pivô em 1 (primeira coluna). Isso está ok.
  2. Segunda linha: O pivô é na segunda coluna.
  3. Terceira linha: O pivô é na terceira coluna.
  4. Quarta linha: O pivô é na quarta coluna.
  5. Quinta e sexta linhas: São todas zeros, não trazem novas informações.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de que fazem algum desses pivôs ser zero, pois isso afeta o número de soluções.
  1. Segundo pivô: ou
  2. Terceiro pivô:
  3. Quarto pivô: ou

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
  • Caso 1:
    • Todos os pivôs são diferentes de zero.
    • Cada variável tem um pivô.
    • Conclusão: O sistema tem uma única solução.
  • Caso 2:
    • Segundo pivô:
    • Terceiro pivô:
    • Quarto pivô:
    • As duas últimas linhas são todas zeros.
    • Conclusão: Há infinitas soluções.
  • Caso 3:
    • Segundo pivô:
    • Terceiro pivô:
    • Quarto pivô: (diferente de zero)
    • Conclusão: Há infinitas soluções.
  • Caso 4:
    • Segundo pivô: (diferente de zero)
    • Terceiro pivô:
    • Quarto pivô:
    • A quarta linha será zero, mas não há contradição.
    • Conclusão: Há infinitas soluções.

Passo 7

Resumindo:
  • Para : O sistema tem uma única solução.
  • Para : O sistema tem infinitas soluções.
  • Não há valores de que tornem o sistema impossível, ou seja, sempre há solução.

Resposta

Para todo :
  • Se , o sistema possui uma única solução.
  • Se , ou , o sistema possui infinitas soluções.
Não existem valores de que tornam o sistema sem solução.

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