Considere um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução. Nos casos em que o sistema tiver solução, determine o conjunto solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema linear, que é basicamente um conjunto de equações que queremos resolver juntas. A matriz aumentada desse sistema está na forma escalonada, o que facilita nossa análise. Vamos precisar entender sobre sistemas de equações lineares, formas escalonadas de matrizes e determinantes para descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Essa matriz representa o sistema de equações já simplificado. Cada linha corresponde a uma equação, e as colunas representam os coeficientes das variáveis e o termo independente (à direita da última coluna).
Passo 3
Para determinar o tipo de soluções que o sistema tem, precisamos analisar os pivôs (os primeiros números não nulos de cada linha da matriz escalonada) e verificar se há contradições.
Se em alguma linha temos todos os coeficientes zero e o termo independente não for zero, isso significa que a equação é impossível, ou seja, não há solução.
Se todas as variáveis têm pivôs, o sistema tem uma única solução.
Se há pelo menos uma variável sem pivô, o sistema tem infinitas soluções.
Passo 4
Vamos analisar cada linha:
Primeira linha: Temos um pivô em 1 (primeira coluna). Isso está ok.
Segunda linha: O pivô é na segunda coluna.
Terceira linha: O pivô é na terceira coluna.
Quarta linha: O pivô é na quarta coluna.
Quinta e sexta linhas: São todas zeros, não trazem novas informações.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de que fazem algum desses pivôs ser zero, pois isso afeta o número de soluções.
Segundo pivô: ou
Terceiro pivô:
Quarto pivô: ou
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Todos os pivôs são diferentes de zero.
Cada variável tem um pivô.
Conclusão: O sistema tem uma única solução.
Caso 2:
Segundo pivô:
Terceiro pivô:
Quarto pivô:
As duas últimas linhas são todas zeros.
Conclusão: Há infinitas soluções.
Caso 3:
Segundo pivô:
Terceiro pivô:
Quarto pivô: (diferente de zero)
Conclusão: Há infinitas soluções.
Caso 4:
Segundo pivô: (diferente de zero)
Terceiro pivô:
Quarto pivô:
A quarta linha será zero, mas não há contradição.
Conclusão: Há infinitas soluções.
Passo 7
Resumindo:
Para : O sistema tem uma única solução.
Para : O sistema tem infinitas soluções.
Não há valores de que tornem o sistema impossível, ou seja, sempre há solução.
Resposta
Para todo :
Se , o sistema possui uma única solução.
Se , ou , o sistema possui infinitas soluções.
Não existem valores de que tornam o sistema sem solução.