Encontre a equação do plano que passa pelos pontos e e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que seja perpendicular ao plano . Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os dois pontos dados. Se temos dois pontos, podemos achar esse vetor subtraindo as coordenadas do primeiro ponto pelas do segundo. Então, temos:
Esse vetor, que podemos chamar de , está no nosso novo plano.
Passo 3
Agora, precisamos considerar que o novo plano é perpendicular ao plano dado pela equação . O vetor normal desse plano é dado pelos coeficientes de , e , ou seja, . Como os planos são perpendiculares, o vetor normal do nosso novo plano, que vamos chamar de , deve ser paralelo a esse vetor normal do plano dado.
Passo 4
Para encontrar o vetor normal do nosso novo plano (), vamos usar o produto vetorial entre o vetor que encontramos no Passo 2 e o vetor normal do plano dado (). O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos, que será o nosso .
Agora que temos o vetor normal do nosso novo plano (n2 = (-7, 1, -3)) e sabemos que ele passa pelo ponto (1,0,3), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:
-7(x - 1) + 1(y - 0) -3(z - 3) = 0
Simplificando:
-7x + 7 + y -3z +9 = 0 -7x + y -3z +16 = 0
Podemos multiplicar por -1 para deixar os coeficientes positivos: