Encontre a equação do plano que passa pelos pontos (1,0,3) e (3,5,0) e é perpendicular ao plano 2 x-y-5 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos (1,0,3) e (3,5,0) e que seja perpendicular ao plano 2x - y - 5z = 0. Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os dois pontos dados. Se temos dois pontos, podemos achar esse vetor subtraindo as coordenadas do primeiro ponto pelas do segundo. Então, temos:
(3 - 1, 5 - 0, 0 - 3) = (2, 5, -3)
Esse vetor, que podemos chamar de v, está no nosso novo plano.

Passo 3

Agora, precisamos considerar que o novo plano é perpendicular ao plano dado pela equação 2x - y - 5z = 0. O vetor normal desse plano é dado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, n1 = (2, -1, -5). Como os planos são perpendiculares, o vetor normal do nosso novo plano, que vamos chamar de n2, deve ser paralelo a esse vetor normal do plano dado.

Passo 4

Para encontrar o vetor normal do nosso novo plano ( n2), vamos usar o produto vetorial entre o vetor v que encontramos no Passo 2 e o vetor normal do plano dado ( n1). O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos, que será o nosso n2.
Calculando o produto vetorial:
n2 = v times n1 = i & j & k 2 & 5 & -3 2 & -1 & -5 = i(5*(-5) - (-3)*(-1)) - j(2*(-5) - (-3)*2) + k(2*(-1) - 5*2)
Simplificando:
n2 = i(-25 - 3) - j(-10 + 6) + k(-2 -10) = i(-28) - j(-4) + k(-12) = (-28, 4, -12)
Podemos simplificar dividindo por 4:
n2 = (-7, 1, -3)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do nosso novo plano ( n2 = (-7, 1, -3)) e sabemos que ele passa pelo ponto (1,0,3), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:
-7(x - 1) + 1(y - 0) -3(z - 3) = 0
Simplificando:
-7x + 7 + y -3z +9 = 0 -7x + y -3z +16 = 0
Podemos multiplicar por -1 para deixar os coeficientes positivos:
7x - y +3z -16 = 0

Resposta

A equação do plano é 7x - y + 3z - 16 = 0.

Exercícios relacionados

Considere um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
(ccccc 1 & 1 & 0 & 1 & 1 0 & (alpha-1) alpha & alpha & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & alpha-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1) alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução. Nos casos em que o sistema tiver solução, determine o conjunto solução.
Para cada t in R, considere a matriz
A(t)=[llll 1 & 0 & 0 & 0 0 & t & 0 & 0 0 & 0 & t & 1 0 & 0 & 1 & 1 ]
(a) Determine o(s) valor(es) de t in R para o(s) qual(quais) a matriz A(t) é invertível;
(b) Para (o)s valor(es) de t encontrado(s) no item anterior, determine a inversa de A(t).
Determine para quais valores de a in R o sistema
l x+y+3 z=4 x+(2 a+1) y+4 z=7 2 x+(2 a+2) y+8 z=12 x+a y+(3+a) z=a+4
possui:
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
© nenhuma solução.
Considere a matriz A=(ccccc1 & 2 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 3 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 0 & 1 & -1 & 0 & 0) e B=(ccccc2 & 7 & -3 & 4 & 2 1 & 3 & -1 & 1 & 2 1 & 2 & 0 & 1 & 2 2 & 6 & -2 & 3 & 3). Verifique se A e B são equivalentes por linha. Os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são A e B são equivalentes?