Encontre a equação do plano que passa pelos pontos (1,0,3) e (3,5,0) e é perpendicular ao plano 2 x-y-5 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos (1,0,3) e (3,5,0) e que seja perpendicular ao plano 2x - y - 5z = 0. Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os dois pontos dados. Se temos dois pontos, podemos achar esse vetor subtraindo as coordenadas do primeiro ponto pelas do segundo. Então, temos:
(3 - 1, 5 - 0, 0 - 3) = (2, 5, -3)
Esse vetor, que podemos chamar de v, está no nosso novo plano.

Passo 3

Agora, precisamos considerar que o novo plano é perpendicular ao plano dado pela equação 2x - y - 5z = 0. O vetor normal desse plano é dado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, n1 = (2, -1, -5). Como os planos são perpendiculares, o vetor normal do nosso novo plano, que vamos chamar de n2, deve ser paralelo a esse vetor normal do plano dado.

Passo 4

Para encontrar o vetor normal do nosso novo plano ( n2), vamos usar o produto vetorial entre o vetor v que encontramos no Passo 2 e o vetor normal do plano dado ( n1). O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos, que será o nosso n2.
Calculando o produto vetorial:
n2 = v times n1 = i & j & k 2 & 5 & -3 2 & -1 & -5 = i(5*(-5) - (-3)*(-1)) - j(2*(-5) - (-3)*2) + k(2*(-1) - 5*2)
Simplificando:
n2 = i(-25 - 3) - j(-10 + 6) + k(-2 -10) = i(-28) - j(-4) + k(-12) = (-28, 4, -12)
Podemos simplificar dividindo por 4:
n2 = (-7, 1, -3)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do nosso novo plano ( n2 = (-7, 1, -3)) e sabemos que ele passa pelo ponto (1,0,3), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:
-7(x - 1) + 1(y - 0) -3(z - 3) = 0
Simplificando:
-7x + 7 + y -3z +9 = 0 -7x + y -3z +16 = 0
Podemos multiplicar por -1 para deixar os coeficientes positivos:
7x - y +3z -16 = 0

Resposta

A equação do plano é 7x - y + 3z - 16 = 0.

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