Sabendo que o |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular
a) (u-3 v) cdot u=
b) (2 v-u) cdot 2 v=
c) (u+v) cdot(v-4 u)=
d) (3 u+4 v) cdot(-2 u-5 v)=

Passo 1

Vamos lá! No item a), precisamos calcular o produto escalar entre o vetor (u - 3v) e o vetor u. Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e as informações que já temos sobre os vetores u e v.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a propriedade distributiva do produto escalar:
(u - 3v) cdot u = u cdot u - 3v cdot u

Passo 3

Sabemos que o produto de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado da sua magnitude, ou seja, u cdot u = |u|^2. Também sabemos que u cdot v = -1. Substituindo esses valores:
u cdot u = 2^2 = 4
-3v cdot u = -3(-1) = 3

Passo 4

No item b), precisamos calcular o produto escalar entre o vetor (2v - u) e o vetor 2v. Vamos utilizar as propriedades do produto escalar novamente.

Passo 5

Aplicando a distributividade:
(2v - u) cdot 2v = 2v cdot 2v - u cdot 2v

Passo 6

Calculando cada parte:
2v cdot 2v = 4(v cdot v) = 4|v|^2 = 4 times 3^2 = 36
-u cdot 2v = -2(u cdot v) = -2(-1) = 2

Passo 7

Vamos para o item c), onde precisamos calcular o produto escalar entre os vetores (u + v) e (v - 4u). Vamos usar as propriedades do produto escalar para resolver.

Passo 8

Expandindo o produto escalar:
(u + v) cdot (v - 4u) = u cdot v + u cdot (-4u) + v cdot v + v cdot (-4u)

Passo 9

Calculando cada termo:
u cdot v = -1
u cdot (-4u) = -4(u cdot u) = -4 times 2^2 = -16
v cdot v = |v|^2 = 3^2 = 9
v cdot (-4u) = -4(v cdot u) = -4(-1) = 4

Passo 10

Finalmente, no item d), precisamos calcular o produto escalar entre os vetores (3u + 4v) e (-2u -5v). Vamos aplicar as propriedades do produto escalar para chegar na solução.

Passo 11

Expandindo o produto escalar:
(3u + 4v) cdot (-2u -5v) = 3u cdot (-2u) + 3u cdot (-5v) + 4v cdot (-2u) + 4v cdot (-5v)

Passo 12

Calculando cada termo:
3u cdot (-2u) = -6(u cdot u) = -6 times 2^2 = -24
3u cdot (-5v) = -15(u cdot v) = -15(-1) = 15
4v cdot (-2u) = -8(v cdot u) = -8(-1) = 8
4v cdot (-5v) = -20(v cdot v) = -20 times 3^2 = -180

Resposta

Portanto,
(3u + 4v) cdot (-2u -5v) = -24 + 15 + 8 -180 = -181

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