Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base. tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. A transformação dada é definida por . Nosso objetivo é encontrar:
i) O núcleo da transformação, sua dimensão e uma base para ele.
ii) A imagem da transformação, sua dimensão e uma base para ela.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores no domínio que são mapeados para o vetor zero no contradomínio. Ou seja:
Então, precisamos encontrar todos os pares que satisfazem:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar o núcleo.

Passo 3

Analisando as equações:
Da terceira equação, sabemos que . Substituindo na primeira equação:
Com e , a segunda equação também é satisfeita:
Portanto, a única solução é . Isso significa que o núcleo de é apenas o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos determinar a dimensão do núcleo. A dimensão do núcleo é o número de vetores em uma base para o núcleo. Como o núcleo contém apenas o vetor zero, ele é trivial e sua dimensão é 0.
Para a base do núcleo, como não há vetores além do zero, podemos dizer que a base é o conjunto vazio, já que não precisamos de vetores para gerar apenas o vetor zero.

Passo 5

Seguimos para a imagem de , denotada por . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor em . Formalmente:
Para encontrar a imagem, vamos expressar como uma combinação linear dos vetores geradores.

Passo 6

Vamos escrever como:
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Portanto, esses dois vetores geram a imagem de .

Passo 7

Para determinar a dimensão da imagem, precisamos verificar se os vetores geradores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será igual ao número de vetores.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante das duas primeiras linhas:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Isso significa que a dimensão da imagem é 2.

Passo 8

Finalmente, para a base da imagem, podemos usar os vetores que geraram a imagem e que são linearmente independentes. Portanto, uma base para a imagem de é:

Resposta

i) Núcleo: , dimensão: 0, base: conjunto vazio.
ii) Imagem: , dimensão: 2, base: .

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