Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base. T: R^2 R^3 tal que T(x, y)=(x+y, x-y, x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. A transformação dada é T: R^2 R^3 definida por T(x, y) = (x+y, x-y, x). Nosso objetivo é encontrar:
i) O núcleo da transformação, sua dimensão e uma base para ele.
ii) A imagem da transformação, sua dimensão e uma base para ela.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T, denotado por Ker(T), é o conjunto de todos os vetores v no domínio que são mapeados para o vetor zero no contradomínio. Ou seja:
Ker(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = 0
Então, precisamos encontrar todos os pares (x, y) que satisfazem:
T(x, y) = (x + y, x - y, x) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. x + y = 0
  2. x - y = 0
  3. x = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar o núcleo.

Passo 3

Analisando as equações:
Da terceira equação, sabemos que x = 0. Substituindo x = 0 na primeira equação:
0 + y = 0 Rightarrow y = 0
Com x = 0 e y = 0, a segunda equação também é satisfeita:
0 - 0 = 0
Portanto, a única solução é (x, y) = (0, 0). Isso significa que o núcleo de T é apenas o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos determinar a dimensão do núcleo. A dimensão do núcleo é o número de vetores em uma base para o núcleo. Como o núcleo contém apenas o vetor zero, ele é trivial e sua dimensão é 0.
Para a base do núcleo, como não há vetores além do zero, podemos dizer que a base é o conjunto vazio, já que não precisamos de vetores para gerar apenas o vetor zero.

Passo 5

Seguimos para a imagem de T, denotada por Im(T). A imagem é o conjunto de todos os vetores em R^3 que podem ser obtidos aplicando a transformação T a algum vetor em R^2. Formalmente:
Im(T) = T(x, y) mid (x, y) in R^2
Para encontrar a imagem, vamos expressar T(x, y) = (x + y, x - y, x) como uma combinação linear dos vetores geradores.

Passo 6

Vamos escrever T(x, y) como:
T(x, y) = x cdot (1, 1, 1) + y cdot (1, -1, 0)
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de T pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1, 1, 1) e (1, -1, 0). Portanto, esses dois vetores geram a imagem de T.

Passo 7

Para determinar a dimensão da imagem, precisamos verificar se os vetores geradores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será igual ao número de vetores.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
1 & 1 1 & -1 1 & 0
Calculando o determinante das duas primeiras linhas:
1 & 1 1 & -1 = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Isso significa que a dimensão da imagem é 2.

Passo 8

Finalmente, para a base da imagem, podemos usar os vetores que geraram a imagem e que são linearmente independentes. Portanto, uma base para a imagem de T é:
(1, 1, 1), (1, -1, 0)

Resposta

i) Núcleo: Ker(T) = 0 , dimensão: 0, base: conjunto vazio.
ii) Imagem: Im(T) = span, (1, 1, 1), (1, -1, 0) ,, dimensão: 2, base: , (1, 1, 1), (1, -1, 0) ,.

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