Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares:
tal que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem uma transformação linear, que geralmente envolvem verificar se a função preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a propriedade de adição:
Sejam
e
. Então:
Aplicando
:
Agora, calculando
:
Somando:
Perceba que
, então a propriedade de adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a propriedade de multiplicação por escalar:
Sejam
e
um escalar. Então:
Aplicando
:
Assim,
, então a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar são satisfeitas, a função
é uma transformação linear.
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Se
base canônica de
e
Determine
Sejam
e
. Determine o ângulo entre
.
Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base.
tal que
Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base.
tal que