Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . Nosso objetivo é verificar se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem uma transformação linear, que geralmente envolvem verificar se a função preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a propriedade de adição:
Sejam e . Então:
Aplicando :
Agora, calculando :
Somando:
Perceba que , então a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a propriedade de multiplicação por escalar:
Sejam e um escalar. Então:
Aplicando :
Assim, , então a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar são satisfeitas, a função é uma transformação linear.

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