Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base. tal que

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistema de equações lineares, espaço nulo (núcleo) e espaço imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação . O núcleo consiste em todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver a equação:

Passo 3

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
  1. Da primeira equação, temos que .
  2. Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Agora, expressamos as soluções em termos de :
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo do vetor .

Passo 6

Portanto, o núcleo é dado por:
A dimensão do núcleo é 1 e uma base para o núcleo é .

Passo 7

Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem consiste em todos os vetores em que podem ser obtidos a partir de .
A transformação pode ser representada pela matriz:

Passo 8

As colunas da matriz são os vetores que geram a imagem de . Então, temos:

Passo 9

Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão da imagem será igual ao número de vetores.
  • Considerando os dois primeiros vetores e , eles são linearmente independentes porque nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero.

Passo 10

Como os dois primeiros vetores são independentes e já geram o espaço , a imagem de é todo o espaço .
Assim, a dimensão da imagem é 2 e uma base para a imagem é .

Resposta

Núcleo:
Dimensão do núcleo: 1
Base do núcleo:
Imagem:
Dimensão da imagem: 2
Base da imagem:

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