Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base.
tal que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear
definida por
. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistema de equações lineares, espaço nulo (núcleo) e espaço imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação
. O núcleo consiste em todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
- Da primeira equação, temos que
. - Substituindo
na segunda equação:
Passo 5
Agora, expressamos as soluções em termos de
:
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo do vetor
.
Passo 6
Portanto, o núcleo
é dado por:
A dimensão do núcleo é 1 e uma base para o núcleo é
.
Passo 7
Agora, vamos determinar a imagem de
. A imagem consiste em todos os vetores em
que podem ser obtidos a partir de
.
A transformação
pode ser representada pela matriz:
Passo 8
As colunas da matriz
são os vetores que geram a imagem de
. Então, temos:
Passo 9
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão da imagem será igual ao número de vetores.
- Considerando os dois primeiros vetores
e , eles são linearmente independentes porque nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero.
Passo 10
Como os dois primeiros vetores são independentes e já geram o espaço
, a imagem de
é todo o espaço
.
Assim, a dimensão da imagem é 2 e uma base para a imagem é
.
Resposta
Núcleo:
Dimensão do núcleo: 1
Base do núcleo:
Base do núcleo:
Imagem:
Dimensão da imagem: 2
Base da imagem:
Base da imagem:
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Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base.
tal que
Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares:
tal que
Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base.
tal que
Verifique em que caso a função
definida por
é linear: