Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base. T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x+y, 2 x-y+z)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistema de equações lineares, espaço nulo (núcleo) e espaço imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação T(x, y, z) = (0, 0) . O núcleo consiste em todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver a equação:

Passo 3

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
x + y = 0 2x - y + z = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
  1. Da primeira equação, temos que 2x - (-x) + z = 0 2x + x + z = 0 3x + z = 0 z = -3x .
  2. Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Agora, expressamos as soluções em termos de (x, y, z) = (x, -x, -3x) = x cdot (1, -1, -3) :
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo do vetor .

Passo 6

Portanto, o núcleo Ker(T) = , x cdot (1, -1, -3) , | , x in R , é dado por:
A dimensão do núcleo é 1 e uma base para o núcleo é .

Passo 7

Agora, vamos determinar a imagem de A = 1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 . A imagem consiste em todos os vetores em que podem ser obtidos a partir de .
A transformação pode ser representada pela matriz:

Passo 8

As colunas da matriz Ima>=m(T) = span 1 2 , 1 -1 , 0 1 são os vetores que geram a imagem de . Então, temos:

Passo 9

Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, a dimensão da imagem será igual ao número de vetores.
  • Considerando os dois primeiros vetores 1 2 e 1 -1 , eles são linearmente independentes porque nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero.

Passo 10

Como os dois primeiros vetores são independentes e já geram o espaço 1 2 , a imagem de 1 -1 é todo o espaço .
Assim, a dimensão da imagem é 2 e uma base para a imagem é .

Resposta

Núcleo:
Ker(T) = , x cdot (1, -1, -3) , | , x in R ,
Dimensão do núcleo: 1
Base do núcleo: Im(T) = R^2
Imagem:
1 2
Dimensão da imagem: 2
Base da imagem: 1 -1

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