Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base. tal que

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente vai precisar encontrar o núcleo (ou nullspace) e a imagem dessa transformação definida por . Vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, soluções de sistemas lineares e como achar bases e dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Da última equação, temos que , então . Substituindo nas outras equações:

Passo 4

Da primeira equação e da segunda . Substituindo na segunda:
Então, . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero.

Passo 5

Como o núcleo só tem o vetor zero, a dimensão do núcleo é 0. E como não há vetores não triviais no núcleo, a base do núcleo é o conjunto vazio.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que são resultado da aplicação de em . Para isso, vamos escrever a transformação como uma matriz e achar o espaço gerado pelas colunas.
A matriz de é:

Passo 7

Vamos reduzir a matriz para a forma escalonada por linhas para identificar as colunas que formam a base da imagem.

Passo 8

Continuando a redução:

Passo 9

Finalmente, subtraindo a terceira linha da quarta:
Isso mostra que as primeiras três colunas são pivôs, significando que a imagem tem dimensão 3.

Passo 10

Então, a base da imagem é formada pelas três primeiras colunas da matriz original :

Resposta

(i) Núcleo: , dimensão 0, base .
(ii) Imagem: dimensão 3, base

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Verifique em que caso a função definida por é linear:
Considere a função .
(b) Determine os valores de para os quais .