Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base. tal que
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente vai precisar encontrar o núcleo (ou nullspace) e a imagem dessa transformação definida por . Vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, soluções de sistemas lineares e como achar bases e dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Da última equação, temos que x - 0 - z = 0 Rightarrow x = z x + 0 + z = 0 Rightarrow x + z = 0 2x - 0 + z = 0 Rightarrow 2x + z = 0 , então . Substituindo nas outras equações:
Passo 4
Da primeira equação x + x = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0 Rightarrow z = 0 e da segunda . Substituindo na segunda:
Então, . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero.
Passo 5
Como o núcleo só tem o vetor zero, a dimensão do núcleo é 0. E como não há vetores não triviais no núcleo, a base do núcleo é o conjunto vazio.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que são resultado da aplicação de em . Para isso, vamos escrever a transformação como uma matriz e achar o espaço gerado pelas colunas.
A matriz de é:
Passo 7
Vamos reduzir a matriz 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 xrightarrowR2 - R1 1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 xrightarrowR3 - 2R1 1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 0 & 1 & 3 0 & -1 & 0 para a forma escalonada por linhas para identificar as colunas que formam a base da imagem.