Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base. tal que
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente vai precisar encontrar o núcleo (ou nullspace) e a imagem dessa transformação definida por . Vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, soluções de sistemas lineares e como achar bases e dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Da última equação, temos que , então . Substituindo nas outras equações:
Passo 4
Da primeira equação e da segunda . Substituindo na segunda:
Então, . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero.
Passo 5
Como o núcleo só tem o vetor zero, a dimensão do núcleo é 0. E como não há vetores não triviais no núcleo, a base do núcleo é o conjunto vazio.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que são resultado da aplicação de em . Para isso, vamos escrever a transformação como uma matriz e achar o espaço gerado pelas colunas.
A matriz de é:
Passo 7
Vamos reduzir a matriz para a forma escalonada por linhas para identificar as colunas que formam a base da imagem.
Passo 8
Continuando a redução:
Passo 9
Finalmente, subtraindo a terceira linha da quarta:
Isso mostra que as primeiras três colunas são pivôs, significando que a imagem tem dimensão 3.
Passo 10
Então, a base da imagem é formada pelas três primeiras colunas da matriz original :