Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base. T: R^3 R^4 tal que T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z, 2 x-y+z,-y)

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente vai precisar encontrar o núcleo (ou nullspace) e a imagem dessa transformação definida por . Vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, soluções de sistemas lineares e como achar bases e dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o núcleo de x - y - z = 0 x + y + z = 0 2x - y + z = 0 -y = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Da última equação, temos que x - 0 - z = 0 Rightarrow x = z x + 0 + z = 0 Rightarrow x + z = 0 2x - 0 + z = 0 Rightarrow 2x + z = 0 , então . Substituindo nas outras equações:

Passo 4

Da primeira equação x + x = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0 Rightarrow z = 0 e da segunda . Substituindo na segunda:
Então, . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero.

Passo 5

Como o núcleo só tem o vetor zero, a dimensão do núcleo é 0. E como não há vetores não triviais no núcleo, a base do núcleo é o conjunto vazio.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que são resultado da aplicação de em . Para isso, vamos escrever a transformação como uma matriz e achar o espaço gerado pelas colunas.
A matriz de é:

Passo 7

Vamos reduzir a matriz 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 xrightarrowR2 - R1 1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 xrightarrowR3 - 2R1 1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 0 & 1 & 3 0 & -1 & 0 para a forma escalonada por linhas para identificar as colunas que formam a base da imagem.

Passo 8

Continuando a redução:
1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 0 & 1 & 3 0 & -1 & 0 xrightarrowR3 - 12R2 1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 2 0 & -1 & 0 xrightarrowR4 + 12R2 1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 2 0 & 0 & 2

Passo 9

Finalmente, subtraindo a terceira linha da quarta:
1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0
Isso mostra que as primeiras três colunas são pivôs, significando que a imagem tem dimensão 3.

Passo 10

Então, a base da imagem é formada pelas três primeiras colunas da matriz original 1 1 2 0 , -1 1 -1 -1 , -1 1 1 0 :

Resposta

(i) Núcleo: 1 1 2 0 , -1 1 -1 -1 , -1 1 1 0 , dimensão 0, base .
(ii) Imagem: dimensão 3, base

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