Verifique em que caso a função definida por é linear:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar em que caso a função definida por é linear. Para resolver isso, vamos lembrar o que define uma função linear e aplicar esses conceitos para descobrir o valor de que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
    Isso significa que a função deve preservar a estrutura do espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Para verificar se ela é linear, precisamos checar se ela satisfaz as duas propriedades acima para todo e para qualquer escalar .

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a adição vetorial. Suponha que temos dois vetores e . Então:
Por outro lado:
Para que preserve a adição vetorial, devemos ter:
Isso já nos dá uma condição para .

Passo 5

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja um escalar e um vetor. Então:
Por outro lado:
Para que preserve a multiplicação por escalar, devemos ter:
E também:
Para que isso seja válido para todo , devemos ter . A única maneira disso acontecer para qualquer é se .

Resposta

A função é linear somente quando .

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Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base. tal que
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Considere a função .
(b) Determine os valores de para os quais .
Determine a transformação linear sabendo que , 1, 0) e encontre um vetor tal que .