Verifique em que caso a função T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x+m y, x+m, y) é linear: m=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar em que caso a função definida por é linear. Para resolver isso, vamos lembrar o que define uma função linear e aplicar esses conceitos para descobrir o valor de que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
    Isso significa que a função deve preservar a estrutura do espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Para verificar se ela é linear, precisamos checar se ela satisfaz as duas propriedades acima para todo e para qualquer escalar .

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a adição vetorial. Suponha que temos dois vetores T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2 + m(y1 + y2), x1 + x2 + m, y1 + y2) e T(x1, y1) + T(x2, y2) = (x1 + m y1, x1 + m, y1) + (x2 + m y2, x2 + m, y2) = (x1 + x2 + m(y1 + y2), x1 + x2 + 2m, y1 + y2) . Então:
x1 + x2 + m(y1 + y2) = x1 + x2 + m(y1 + y2)
Por outro lado:
x1 + x2 + m = x1 + x2 + 2m
Para que m = 2m implies m = 0 preserve a adição vetorial, devemos ter:
Isso já nos dá uma condição para .

Passo 5

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja T(c(x, y)) = T(cx, cy) = (cx + m cy, cx + m, cy) um escalar e cT(x, y) = c(x + m y, x + m, y) = (c(x + m y), c(x + m), cy) um vetor. Então:
cx + m cy = c x + c m y
Por outro lado:
cx + m cy = cx + c m y
Para que cx + m = c(x + m) preserve a multiplicação por escalar, devemos ter:
cx + m = c x + c m
E também:
Para que isso seja válido para todo , devemos ter . A única maneira disso acontecer para qualquer é se .

Resposta

A função é linear somente quando .

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