Verifique em que caso a função
definida por
é linear:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar em que caso a função
definida por
é linear. Para resolver isso, vamos lembrar o que define uma função linear e aplicar esses conceitos para descobrir o valor de
que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Isso significa que a função deve preservar a estrutura do espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
. Para verificar se ela é linear, precisamos checar se ela satisfaz as duas propriedades acima para todo
e para qualquer escalar
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a adição vetorial. Suponha que temos dois vetores
e
. Então:
Por outro lado:
Para que
preserve a adição vetorial, devemos ter:
Isso já nos dá uma condição para
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
um vetor. Então:
Por outro lado:
Para que
preserve a multiplicação por escalar, devemos ter:
E também:
Para que isso seja válido para todo
, devemos ter
. A única maneira disso acontecer para qualquer
é se
.
Resposta
A função
é linear somente quando
.
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Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base.
tal que
Para cada transformação linear abaixo, determine: (i) o núcleo, sua dimensão e uma base; (ii) a imagem, sua dimensão e uma base.
tal que
Considere a função
.
(b) Determine os valores de para os quais
.
(b) Determine os valores de
Determine a transformação linear
sabendo que
, 1, 0) e encontre um vetor
tal que
.