Considere a função .
(b) Determine os valores de para os quais .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir para quais valores de essa função é maior ou igual a 2, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com inequações racionais, que são inequações onde temos uma fração algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a inequação que precisamos resolver:

Passo 3

Vamos levar todos os termos para um lado da inequação para facilitar a resolução. Subtraímos 2 de ambos os lados:

Passo 4

Para subtrair o 2, precisamos que ele tenha o mesmo denominador que a fração. Assim, reescrevemos o 2 como :

Passo 5

Agora que temos o mesmo denominador, podemos combinar as frações:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então, a inequação fica:

Passo 7

Vamos fatorar o numerador e reescrever o denominador para facilitar a visualização:
Isso é o mesmo que:

Passo 8

Agora, vamos encontrar os pontos onde a fração muda de sinal. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador é zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.

Passo 9

Vamos dividir a linha dos números nos intervalos determinados por esses pontos:

Passo 10

Vamos verificar o sinal da fração em cada intervalo:
  • Para :
    • Numerador é negativo.
    • Denominador é negativo.
    • Resultado: negativo dividido por negativo dá positivo.
  • Para :
    • Numerador é negativo.
    • Denominador é positivo.
    • Resultado: negativo dividido por positivo dá negativo.
  • Para :
    • Numerador é positivo.
    • Denominador é positivo.
    • Resultado: positivo dividido por positivo dá positivo.

Passo 11

Queremos saber onde a fração é menor ou igual a zero, ou seja, onde ela é negativa ou igual a zero:
  • Negativa: Entre
  • Igual a zero: Quando

Passo 12

Portanto, os valores de que satisfazem são aqueles entre 2 e 3, excluindo o 2 (porque a função não está definida lá) e incluindo o 3.

Resposta

Os valores de que satisfazem são todos os números entre 2 e 3, ou seja,

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Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b)