Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(b)
definida como
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A questão pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear
que vai de
para
e é definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range) de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são transformados pelo
no vetor zero em
. Ou seja:
Passo 3
Vamos igualar a transformação
a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Da segunda equação, já sabemos que
. Substituindo isso na primeira equação:
Então, temos:
Passo 5
Agora, podemos expressar os vetores no núcleo em termos de uma variável livre, digamos
. Assim:
Então, todo vetor no núcleo é:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de
, que é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos pela transformação
. Formalmente:
Passo 7
Vamos analisar os componentes da imagem:
- O primeiro componente é
, que pode ser qualquer elemento de já que variam livremente. - O segundo componente é
, que também pode ser qualquer elemento de .
Isso significa que, para qualquer
, existe um vetor
tal que
e
. Por exemplo, podemos escolher
,
, e então
.
Passo 8
Assim, qualquer vetor
em
pode ser obtido pela transformação
, o que significa que a imagem de
é todo o espaço
.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores múltiplos de
, ou seja,
. Já a imagem de
é todo o espaço
, ou seja,
.