Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(b) T in L(F^3, F^2) definida como T(x, y, z)=(x+y+z, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A questão pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear que vai de para e é definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range) de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = , (x, y, z) in F^3 mid T(x, y, z) = (0, 0) , , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são transformados pelo no vetor zero em . Ou seja:

Passo 3

Vamos igualar a transformação (x + y + z, z) = (0, 0) a zero:
x + y + z = 0 z = 0
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Da segunda equação, já sabemos que x + y + 0 = 0 Rightarrow x + y = 0 . Substituindo isso na primeira equação:
x = -y
Então, temos:

Passo 5

Agora, podemos expressar os vetores no núcleo em termos de uma variável livre, digamos x = -t, y = t, z = 0 . Assim:
(-t, t, 0) = t cdot (-1, 1, 0)
Então, todo vetor no núcleo é:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de Im(T) = , T(x, y, z) mid (x, y, z) in F^3 , = , (x + y + z, z) mid (x, y, z) in F^3 , , que é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos pela transformação . Formalmente:

Passo 7

Vamos analisar os componentes da imagem:
  1. O primeiro componente é , que pode ser qualquer elemento de já que variam livremente.
  2. O segundo componente é , que também pode ser qualquer elemento de .
Isso significa que, para qualquer , existe um vetor tal que e . Por exemplo, podemos escolher , , e então .

Passo 8

Assim, qualquer vetor em pode ser obtido pela transformação , o que significa que a imagem de é todo o espaço .

Resposta

O núcleo de é o conjunto de todos os vetores múltiplos de , ou seja, . Já a imagem de é todo o espaço , ou seja, .

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