Então, a gente tem o conjunto e precisa descobrir se ele forma uma base para o espaço . A matéria que vamos usar aqui é a de bases e dimensões em espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e quantos vetores ela precisa ter nesse espaço.
Passo 2
Primeiro, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores que tem uma base para esse espaço. No caso de , a dimensão é 3, ou seja, precisamos de 3 vetores para formar uma base.
Passo 4
Olha só o conjunto que a gente tem: . Ele só tem 2 vetores, mas como vimos, precisamos de 3 vetores para uma base de . Além disso, também podemos verificar se os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Para ver se os vetores são linearmente independentes, a gente monta uma combinação linear igual a zero:
Isso dá o sistema de equações:
Da segunda equação, não aprendemos nada. Da terceira, temos . Substituindo na primeira, , então . Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Não, o conjunto não forma uma base para porque precisa de três vetores para uma base nesse espaço.