O conjunto forma uma base para o ? Por que?

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto e precisa descobrir se ele forma uma base para o espaço . A matéria que vamos usar aqui é a de bases e dimensões em espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e quantos vetores ela precisa ter nesse espaço.

Passo 2

Primeiro, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores que tem uma base para esse espaço. No caso de , a dimensão é 3, ou seja, precisamos de 3 vetores para formar uma base.

Passo 4

Olha só o conjunto que a gente tem: . Ele só tem 2 vetores, mas como vimos, precisamos de 3 vetores para uma base de . Além disso, também podemos verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Para ver se os vetores são linearmente independentes, a gente monta uma combinação linear igual a zero:
Isso dá o sistema de equações:
Da segunda equação, não aprendemos nada. Da terceira, temos . Substituindo na primeira, , então . Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Não, o conjunto não forma uma base para porque precisa de três vetores para uma base nesse espaço.

Exercícios relacionados

Seja o espaço dos polinômios de grau e considere: .
(a) Verifique que é l.d.
(b) Encontre uma combinação linear em que algum dos coeficientes é diferente de 0
Seja o triângulo de vértices e . Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado .
Determinar:
  • os vértices
  • os focos
  • a excentricidade
  • a amplitude focal
  • as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(b) definida como .