O conjunto (1,0,1),(2,0,0) forma uma base para o R^3 ? Por que?

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto (1,0,1),(2,0,0) e precisa descobrir se ele forma uma base para o espaço R^3. A matéria que vamos usar aqui é a de bases e dimensões em espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e quantos vetores ela precisa ter nesse espaço.

Passo 2

Primeiro, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores que tem uma base para esse espaço. No caso de R^3, a dimensão é 3, ou seja, precisamos de 3 vetores para formar uma base.

Passo 4

Olha só o conjunto que a gente tem: (1,0,1),(2,0,0). Ele só tem 2 vetores, mas como vimos, precisamos de 3 vetores para uma base de R^3. Além disso, também podemos verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Para ver se os vetores são linearmente independentes, a gente monta uma combinação linear igual a zero:
a(1,0,1) + b(2,0,0) = (0,0,0)
Isso dá o sistema de equações:
a + 2b = 0 0 = 0 a = 0
Da segunda equação, não aprendemos nada. Da terceira, temos a = 0. Substituindo na primeira, 0 + 2b = 0, então b = 0. Como a única solução é a = b = 0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Não, o conjunto (1,0,1),(2,0,0) não forma uma base para R^3 porque precisa de três vetores para uma base nesse espaço.

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