Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear
definida por
. Além disso, se existirem, devemos determinar o autoespaço generalizado. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes, e valores próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
por uma matriz. Se
, a matriz associada a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de
, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 4
Vamos calcular
:
O determinante dessa matriz é:
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Então, temos dois casos:
-
→ -
→
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Primeiro, para
:
Resolvendo
:
A segunda equação é apenas o dobro da primeira, então temos apenas uma equação independente:
Então, um autovetor para
é:
Qualquer múltiplo escalar desse vetor também é um autovetor.
Passo 7
Agora, para
:
Resolvendo
:
A segunda equação é o dobro da primeira, então novamente temos uma única equação independente:
Então, um autovetor para
é:
Novamente, qualquer múltiplo escalar desse vetor também é um autovetor.
Passo 8
Finalmente, vamos verificar se há necessidade de determinar o autoespaço generalizado. Como cada autovalor possui um autovetor correspondente e a matriz
é
com dois autovalores distintos, os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços propriamente ditos. Não há necessidade de considerar vetores generalizados adicionais.
Resposta
Os autovalores de
são
e
. Os respectivos autovetores são
e
. Os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços dos autovalores, não havendo necessidade de vetores generalizados adicionais.