Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de T em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(b) T(x, y)=(x+y, 4 x+y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Além disso, se existirem, devemos determinar o autoespaço generalizado. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes, e valores próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 1 & 1 4 & 1 por uma matriz. Se , a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 1 4 & 1 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (4)(1) = (1 - lambda)^2 - 4
O determinante dessa matriz é:

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
(1 - lambda)^2 - 4 = 0 (1 - lambda)^2 = 4 1 - lambda = pm 2
Então, temos dois casos:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos A - (-1)I = A + I = 2 & 1 4 & 2 , onde 2x + y = 0 4x + 2y = 0 é o autovetor.
Primeiro, para 2x + y = 0 implies y = -2x :
v1 = 1 -2
Resolvendo :
A segunda equação é apenas o dobro da primeira, então temos apenas uma equação independente:
Então, um autovetor para é:
Qualquer múltiplo escalar desse vetor também é um autovetor.

Passo 7

Agora, para A - 3I = -2 & 1 4 & -2 :
-2x + y = 0 4x - 2y = 0
Resolvendo -2x + y = 0 implies y = 2x :
v2 = 1 2
A segunda equação é o dobro da primeira, então novamente temos uma única equação independente:
Então, um autovetor para é:
Novamente, qualquer múltiplo escalar desse vetor também é um autovetor.

Passo 8

Finalmente, vamos verificar se há necessidade de determinar o autoespaço generalizado. Como cada autovalor possui um autovetor correspondente e a matriz é com dois autovalores distintos, os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços propriamente ditos. Não há necessidade de considerar vetores generalizados adicionais.

Resposta

Os autovalores de 1 -2 são 1 2 e . Os respectivos autovetores são e . Os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços dos autovalores, não havendo necessidade de vetores generalizados adicionais.

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