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Determine tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma transformação linear que atua no espaço (imagine um espaço tridimensional) e que o núcleo (ou kernel) dessa transformação seja o conjunto de todos os múltiplos do vetor . Basicamente, queremos uma função linear que “mata” esse vetor específico e apenas ele (ou seus múltiplos).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em tais que . Então, queremos que somente os vetores da forma (onde é um escalar) sejam mapeados para o vetor zero.

Passo 3

Para encontrar , vamos pensar na matriz que representa essa transformação. Como age em e queremos uma imagem em algum outro espaço, vamos assumir que mapeia para (mas isso pode variar dependendo do contexto). A ideia é que o núcleo seja gerado por , então precisamos que essa matriz multiplicada por resulte em zero.

Passo 4

Vamos construir a matriz de . Sabemos que deve ter linhas que são ortogonais ao vetor , porque . Então, procuramos vetores linha e tais que e .

Passo 5

Solucionando , temos . Isso implica que . Podemos escolher, por exemplo, .
Da mesma forma, para , podemos escolher outra linha que satisfaça a mesma condição. Por simplicidade, vamos pegar , já que .

Passo 6

Então, a matriz que representa fica assim:
Isso significa que .

Passo 7

Vamos verificar se o núcleo de é realmente . Se aplicarmos ao vetor :
Então, de fato, está no núcleo de . E, como a dimensão de é 3 e a dimensão da imagem de é 2, pelo Teorema do Núcleo (Rank-Nullity Theorem), o núcleo deve ter dimensão 1, confirmando que somente os múltiplos de estão no núcleo.

Resposta

A transformação linear desejada é dada por
ou, em forma de matriz,

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Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(b) definida como .
Determinar:
  • os vértices
  • os focos
  • a excentricidade
  • a amplitude focal
  • as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(b) .
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(g) .