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Determine
tal que
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma transformação linear
que atua no espaço
(imagine um espaço tridimensional) e que o núcleo (ou kernel) dessa transformação seja o conjunto de todos os múltiplos do vetor
. Basicamente, queremos uma função linear que “mata” esse vetor específico e apenas ele (ou seus múltiplos).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
tais que
. Então, queremos que somente os vetores da forma
(onde
é um escalar) sejam mapeados para o vetor zero.
Passo 3
Para encontrar
, vamos pensar na matriz que representa essa transformação. Como
age em
e queremos uma imagem em algum outro espaço, vamos assumir que
mapeia
para
(mas isso pode variar dependendo do contexto). A ideia é que o núcleo seja gerado por
, então precisamos que essa matriz multiplicada por
resulte em zero.
Passo 4
Vamos construir a matriz
de
. Sabemos que
deve ter linhas que são ortogonais ao vetor
, porque
. Então, procuramos vetores linha
e
tais que
e
.
Passo 5
Solucionando
, temos
. Isso implica que
. Podemos escolher, por exemplo,
.
Da mesma forma, para
, podemos escolher outra linha que satisfaça a mesma condição. Por simplicidade, vamos pegar
, já que
.
Passo 6
Então, a matriz
que representa
fica assim:
Isso significa que
.
Passo 7
Vamos verificar se o núcleo de
é realmente
. Se aplicarmos
ao vetor
:
Então, de fato,
está no núcleo de
. E, como a dimensão de
é 3 e a dimensão da imagem de
é 2, pelo Teorema do Núcleo (Rank-Nullity Theorem), o núcleo deve ter dimensão 1, confirmando que somente os múltiplos de
estão no núcleo.
Resposta
A transformação linear
desejada é dada por
ou, em forma de matriz,
Exercícios relacionados
Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(b) definida como
.
(b)
Determinar:
- os vértices
- os focos
- a excentricidade
- a amplitude focal
- as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(b) .
(b)
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(g) .
(g)