Determinar:
- os vértices
- os focos
- a excentricidade
- a amplitude focal
- as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
-
-
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre hipérboles e quer descobrir várias características delas: vértices, focos, excentricidade, amplitude focal e as equações das assíntotas. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, focando nas propriedades das hipérboles. Vamos precisar lembrar da forma padrão da equação da hipérbole e como identificar seus elementos principais. Vamos resolver cada uma das três hipérboles que você mandou passo a passo!
Passo 2
1. Hipérbole:
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma geral da hipérbole horizontal é:
No nosso caso, não há termos de
e
, então o centro está na origem
.
Passo 3
Dividindo ambos os lados da equação por 144:
Agora, temos:
Então,
e
. Portanto,
e
.
Passo 4
Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo x.
Passo 5
Os focos estão a uma distância
do centro, onde
é calculado por:
Então,
Passo 6
A excentricidade
é a relação
.
Passo 7
A amplitude focal em hipérboles geralmente se refere à distância total entre os focos, que é
:
Passo 8
As assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por:
Substituindo
e
:
Então, as equações das assíntotas são:
Passo 9
2. Hipérbole:
Vamos repetir o processo para a segunda hipérbole. Desta vez, a equação parece ter o termo de
positivo primeiro, indicando que é uma hipérbole vertical.
Passo 10
Dividindo ambos os lados por 784:
Agora, temos:
Então,
e
. Portanto,
e
.
Passo 11
Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo y.
Passo 12
Os focos estão a uma distância
do centro, onde
:
Então,
Passo 13
A excentricidade
é:
Passo 14
Amplitude focal é
:
Passo 15
Para uma hipérbole vertical, as assíntotas são:
Substituindo
e
:
Então, as equações das assíntotas são:
Passo 16
3. Hipérbole:
Vamos fazer o mesmo para a terceira hipérbole. Esta equação já está quase na forma padrão.
Passo 17
Dividindo ambos os lados por 25:
Então, temos:
Logo,
e
. Portanto,
e
.
Passo 18
Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo x.
Passo 19
Os focos estão a uma distância
do centro, onde
:
Então,
Passo 20
A excentricidade
é:
Passo 21
Amplitude focal é
:
Passo 22
Para uma hipérbole horizontal, as assíntotas são:
Substituindo
e
:
Então, as equações das assíntotas são:
Resposta
Para a hipérbole
:
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Amplitude focal:
- Equações das assíntotas:
e
Para a hipérbole
:
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Amplitude focal:
- Equações das assíntotas:
e
Exercícios relacionados
O conjunto
forma uma base para o
? Por que?
Seja
o espaço dos polinômios de grau
e considere:
.
(a) Verifique que é l.d.
(b) Encontre uma combinação linear em que algum dos coeficientes
é diferente de 0
(a) Verifique que
(b) Encontre uma combinação linear
Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(b) definida como
.
(b)
9
Determine tal que
.
Determine