Determinar:
  • os vértices
  • os focos
  • a excentricidade
  • a amplitude focal
  • as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
  1. 9 x^2-16 y^2=144
  2. 4 y^2-16 x^2=784
  3. x^2-y^2=25

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre hipérboles e quer descobrir várias características delas: vértices, focos, excentricidade, amplitude focal e as equações das assíntotas. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, focando nas propriedades das hipérboles. Vamos precisar lembrar da forma padrão da equação da hipérbole e como identificar seus elementos principais. Vamos resolver cada uma das três hipérboles que você mandou passo a passo!

Passo 2

1. Hipérbole: (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma geral da hipérbole horizontal é:
No nosso caso, não há termos de e , então o centro está na origem .

Passo 3

Dividindo ambos os lados da equação por 144:
9x^2144 - 16y^2144 = 1 x^216 - y^29 = 1
Agora, temos:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Então, e . Portanto, e .

Passo 4

Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão a uma distância Vértices: (h pm a, k) = (0 pm 4, 0) Vértices: (4, 0) e (-4, 0) do centro ao longo do eixo x.
éé

Passo 5

Os focos estão a uma distância c = raiza^2 + b^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 do centro, onde Focos: (h pm c, k) = (0 pm 5, 0) Focos: (5, 0) e (-5, 0) é calculado por:
Então,

Passo 6

A excentricidade e = 54 = 1,25 é a relação .

Passo 7

A amplitude focal em hipérboles geralmente se refere à distância total entre os focos, que é Amplitude focal = 2c = 10 :

Passo 8

As assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por:
y = pm bax
Substituindo y = pm 34x e y = 34x e y = -34x :
Então, as equações das assíntotas são:

Passo 9

2. Hipérbole:

Vamos repetir o processo para a segunda hipérbole. Desta vez, a equação parece ter o termo de positivo primeiro, indicando que é uma hipérbole vertical.

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 784:
4y^2784 - 16x^2784 = 1 y^2196 - x^249 = 1
Agora, temos:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Então, e . Portanto, e .

Passo 11

Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância Vértices: (h, k pm a) = (0, 0 pm 14) Vértices: (0, 14) e (0, -14) do centro ao longo do eixo y.
éé

Passo 12

Os focos estão a uma distância c = raiz196 + 49 = raiz245 = 7raiz5 approx 15,65 do centro, onde Focos: (h, k pm c) = (0, 0 pm 7raiz5) Focos: (0, 7raiz5) e (0, -7raiz5) :
Então,

Passo 13

A excentricidade e = ca = 7raiz514 = raiz52 approx 1,118 é:

Passo 14

Amplitude focal é Amplitude focal = 2c = 14raiz5 approx 31,30 :

Passo 15

Para uma hipérbole vertical, as assíntotas são:
y = pm abx
Substituindo y = pm 147x = pm 2x e y = 2x e y = -2x :
Então, as equações das assíntotas são:

Passo 16

3. Hipérbole:

Vamos fazer o mesmo para a terceira hipérbole. Esta equação já está quase na forma padrão.

Passo 17

Dividindo ambos os lados por 25:
x^225 - y^225 = 1
Então, temos:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Logo, e . Portanto, e .

Passo 18

Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão a uma distância Vértices: (h pm a, k) = (0 pm 5, 0) Vértices: (5, 0) e (-5, 0) do centro ao longo do eixo x.
éé

Passo 19

Os focos estão a uma distância c = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2 approx 7,071 do centro, onde Focos: (h pm c, k) = (0 pm 5raiz2, 0) Focos: (5raiz2, 0) e (-5raiz2, 0) :
Então,

Passo 20

A excentricidade e = ca = 5raiz25 = raiz2 approx 1,414 é:

Passo 21

Amplitude focal é Amplitude focal = 2c = 10raiz2 approx 14,142 :

Passo 22

Para uma hipérbole horizontal, as assíntotas são:
y = pm bax
Substituindo y = pm 55x = pm x e y = x e y = -x :
Então, as equações das assíntotas são:

Resposta

Para a hipérbole :
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Amplitude focal:
  • Equações das assíntotas: e
Para a hipérbole :
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Amplitude focal:
  • Equações das assíntotas: e

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