Determinar:
  • os vértices
  • os focos
  • a excentricidade
  • a amplitude focal
  • as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre hipérboles e quer descobrir várias características delas: vértices, focos, excentricidade, amplitude focal e as equações das assíntotas. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, focando nas propriedades das hipérboles. Vamos precisar lembrar da forma padrão da equação da hipérbole e como identificar seus elementos principais. Vamos resolver cada uma das três hipérboles que você mandou passo a passo!

Passo 2

1. Hipérbole:

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma geral da hipérbole horizontal é:
No nosso caso, não há termos de e , então o centro está na origem .

Passo 3

Dividindo ambos os lados da equação por 144:
Agora, temos:
Então, e . Portanto, e .

Passo 4

Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo x.
éé

Passo 5

Os focos estão a uma distância do centro, onde é calculado por:
Então,

Passo 6

A excentricidade é a relação .

Passo 7

A amplitude focal em hipérboles geralmente se refere à distância total entre os focos, que é :

Passo 8

As assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por:
Substituindo e :
Então, as equações das assíntotas são:

Passo 9

2. Hipérbole:

Vamos repetir o processo para a segunda hipérbole. Desta vez, a equação parece ter o termo de positivo primeiro, indicando que é uma hipérbole vertical.

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 784:
Agora, temos:
Então, e . Portanto, e .

Passo 11

Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo y.
éé

Passo 12

Os focos estão a uma distância do centro, onde :
Então,

Passo 13

A excentricidade é:

Passo 14

Amplitude focal é :

Passo 15

Para uma hipérbole vertical, as assíntotas são:
Substituindo e :
Então, as equações das assíntotas são:

Passo 16

3. Hipérbole:

Vamos fazer o mesmo para a terceira hipérbole. Esta equação já está quase na forma padrão.

Passo 17

Dividindo ambos os lados por 25:
Então, temos:
Logo, e . Portanto, e .

Passo 18

Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo x.
éé

Passo 19

Os focos estão a uma distância do centro, onde :
Então,

Passo 20

A excentricidade é:

Passo 21

Amplitude focal é :

Passo 22

Para uma hipérbole horizontal, as assíntotas são:
Substituindo e :
Então, as equações das assíntotas são:

Resposta

Para a hipérbole :
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Amplitude focal:
  • Equações das assíntotas: e
Para a hipérbole :
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Amplitude focal:
  • Equações das assíntotas: e

Exercícios relacionados

O conjunto forma uma base para o ? Por que?
Seja o espaço dos polinômios de grau e considere: .
(a) Verifique que é l.d.
(b) Encontre uma combinação linear em que algum dos coeficientes é diferente de 0
Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(b) definida como .
9
Determine tal que .