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Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(a) definida como .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que você enviou! A questão pede para determinar o núcleo (ou kernel) e a imagem de uma transformação linear específica. A transformação dada é , definida por . Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear.
Núcleo (Kernel): É o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação linear, resultam no vetor zero. Ou seja, .
Imagem (Image): É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação linear a algum vetor do espaço de partida. Ou seja, .
Passo 3
Vamos começar determinando o núcleo da transformação .
Para encontrar , precisamos resolver a equação .
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo as equações:
Da segunda equação, , que é sempre verdadeira e não nos dá informação adicional.
Da primeira equação, , ou seja, .
Da terceira equação, , o que implica que .
Substituindo na equação , temos .
Passo 5
Portanto, o único vetor que satisfaz é . Assim, o núcleo da transformação é:
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da transformação .
A imagem consiste em todos os vetores que podem ser obtidos através de para .
Passo 7
Para encontrar a imagem, vamos expressar os componentes de em termos de e :
Aqui, o segundo componente é sempre zero. Os demais componentes dependem de e .
Passo 8
Podemos reescrever isso como uma combinação linear:
Isso mostra que a imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores e .
Passo 9
Portanto, a imagem de é um subespaço de gerado por esses dois vetores:
Isso significa que qualquer vetor na imagem de pode ser obtido combinando esses dois vetores com escalares quaisquer.
Resposta
O núcleo de é e a imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores e . Ou seja,