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Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(a) T in L(F^2, F^3) definida como T(x, y)=(y-x, 0,5 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que você enviou! A questão pede para determinar o núcleo (ou kernel) e a imagem de uma transformação linear específica. A transformação dada é , definida por . Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear.
  • Núcleo (Kernel): É o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação linear, resultam no vetor zero. Ou seja, .
  • Imagem (Image): É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação linear a algum vetor do espaço de partida. Ou seja, .

Passo 3

Vamos começar determinando o núcleo da transformação y - x = 0 0 = 0 5x = 0 .
Para encontrar , precisamos resolver a equação .
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo as equações:
  1. Da segunda equação, , que é sempre verdadeira e não nos dá informação adicional.
  2. Da primeira equação, , ou seja, .
  3. Da terceira equação, , o que implica que .
Substituindo na equação , temos .

Passo 5

Portanto, o único vetor que satisfaz Ker(T) = (0, 0) é . Assim, o núcleo da transformação é:

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da transformação .
A imagem consiste em todos os vetores que podem ser obtidos através de para .

Passo 7

Para encontrar a imagem, vamos expressar os componentes de T(x, y) = y - x 0 5x em termos de e :
Aqui, o segundo componente é sempre zero. Os demais componentes dependem de e .

Passo 8

Podemos reescrever isso como uma combinação linear:
T(x, y) = x -1 0 5 + y 1 0 0
Isso mostra que a imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores e .

Passo 9

Portanto, a imagem de Im(T) = span -1 0 5 , 1 0 0 é um subespaço de gerado por esses dois vetores:
Isso significa que qualquer vetor na imagem de pode ser obtido combinando esses dois vetores com escalares quaisquer.

Resposta

O núcleo de Ker(T) = , (0, 0) , é Im(T) = span -1 0 5 , 1 0 0 e a imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores e . Ou seja,

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