Exercícios

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Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da transformação definida por . Além disso, se esses autovalores e autovetores existirem, precisamos determinar o autoespaço generalizado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e autoespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. A transformação pode ser escrita na forma matricial:
Aqui, a primeira coluna representa o que acontece com o vetor e a segunda coluna com .

Passo 3

Para encontrar os autovalores ( ) de , usamos a equação característica:
Onde é a matriz identidade:
Então, calculamos:
A determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos a equação:

Começando com :
[


]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos . Escolhendo , obtemos . Então, um autovetor para é .

Agora, para :
[


]
Isso leva ao sistema:
Simplificando, temos . Escolhendo , obtemos . Então, um autovetor para é .

Passo 5

Por fim, vamos falar sobre o autoespaço generalizado. Como os autovalores e são diferentes, a matriz é diagonalizável, o que significa que o autoespaço generalizado para cada autovalor é simplesmente o autoespaço correspondente. Ou seja, não há necessidade de considerar vetores generalizados adicionais neste caso.

Resposta

Os autovalores de são e . Os autovetores correspondentes são para e para . Além disso, os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços simples.

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes , em que , e em que . Determine:
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Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem:
(a) definida como .
Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear:
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(e) .