Exercícios

1
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de T em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(a) T(x, y)=(4 y, x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da transformação definida por . Além disso, se esses autovalores e autovetores existirem, precisamos determinar o autoespaço generalizado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e autoespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T = 0 & 4 1 & 0 como uma matriz. A transformação pode ser escrita na forma matricial:
Aqui, a primeira coluna representa o que acontece com o vetor e a segunda coluna com .

Passo 3

Para encontrar os autovalores ( det(T - lambda I) = 0 ) de I = 1 & 0 0 & 1 , usamos a equação característica:
T - lambda I = - lambda & 4 1 & - lambda
Onde det(T - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (4)(1) = lambda^2 - 4 é a matriz identidade:
lambda^2 - 4 = 0 implies lambda = pm 2
Então, calculamos:
A determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada (T - lambda I)v = 0 , resolvemos a equação:
-2 & 4 1 & -2 x y = 0 0
Começando com -2x + 4y = 0 e x - 2y = 0 :
[
2 & 4 1 & 2 x y = 0 0
2x + 4y = 0 e x + 2y = 0


]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos . Escolhendo , obtemos . Então, um autovetor para é .

Agora, para :
[


]
Isso leva ao sistema:
Simplificando, temos . Escolhendo , obtemos . Então, um autovetor para é .

Passo 5

Por fim, vamos falar sobre o autoespaço generalizado. Como os autovalores e são diferentes, a matriz é diagonalizável, o que significa que o autoespaço generalizado para cada autovalor é simplesmente o autoespaço correspondente. Ou seja, não há necessidade de considerar vetores generalizados adicionais neste caso.

Resposta

Os autovalores de são e . Os autovetores correspondentes são para e para . Além disso, os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços simples.

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