Exercícios
1
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(a)
.
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da transformação
definida por
. Além disso, se esses autovalores e autovetores existirem, precisamos determinar o autoespaço generalizado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e autoespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. A transformação
pode ser escrita na forma matricial:
Aqui, a primeira coluna representa o que acontece com o vetor
e a segunda coluna com
.
Passo 3
Para encontrar os autovalores (
) de
, usamos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade:
Então, calculamos:
A determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos a equação:
Começando com
:
[
]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos
. Escolhendo
, obtemos
. Então, um autovetor para
é
.
Agora, para
:
[
]
Isso leva ao sistema:
Simplificando, temos
. Escolhendo
, obtemos
. Então, um autovetor para
é
.
Passo 5
Por fim, vamos falar sobre o autoespaço generalizado. Como os autovalores
e
são diferentes, a matriz
é diagonalizável, o que significa que o autoespaço generalizado para cada autovalor é simplesmente o autoespaço correspondente. Ou seja, não há necessidade de considerar vetores generalizados adicionais neste caso.
Resposta
Os autovalores de
são
e
. Os autovetores correspondentes são
para
e
para
. Além disso, os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços simples.