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Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da transformação definida por . Além disso, se esses autovalores e autovetores existirem, precisamos determinar o autoespaço generalizado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e autoespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. A transformação pode ser escrita na forma matricial:
Aqui, a primeira coluna representa o que acontece com o vetor e a segunda coluna com .
Passo 3
Para encontrar os autovalores () de , usamos a equação característica:
Onde é a matriz identidade:
Então, calculamos:
A determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são e .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos a equação:
Começando com :
[
]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos . Escolhendo , obtemos . Então, um autovetor para é .
Agora, para :
[
]
Isso leva ao sistema:
Simplificando, temos . Escolhendo , obtemos . Então, um autovetor para é .
Passo 5
Por fim, vamos falar sobre o autoespaço generalizado. Como os autovalores e são diferentes, a matriz é diagonalizável, o que significa que o autoespaço generalizado para cada autovalor é simplesmente o autoespaço correspondente. Ou seja, não há necessidade de considerar vetores generalizados adicionais neste caso.
Resposta
Os autovalores de são e . Os autovetores correspondentes são para e para . Além disso, os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços simples.