Seja uma transformação linear. Se é sobrejetora e injetiva, qual o valor de ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear . A transformação é sobrejetora (ou seja, atinge todo o espaço de chegada) e injetiva (não tem dois pontos diferentes que mapeiam para o mesmo ponto). Queremos descobrir qual é o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de transformações lineares, especialmente sobrejetividade, injetividade e a relação entre as dimensões dos espaços envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é injetiva se o núcleo (ou kernel) de contém apenas o vetor zero. Isso significa que não existem dois vetores diferentes em que mapeia para o mesmo vetor em .
Matematicamente, isso é expresso como:
Se , então é injetiva.

Passo 3

Por outro lado, uma transformação linear é sobrejetora se a imagem (ou imagem) de é todo o espaço de chegada . Isso significa que para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em que mapeia para ele.
Em termos matemáticos:

Passo 4

Agora, há um teorema importante em álgebra linear que relaciona a injetividade e a sobrejetividade de uma transformação linear com as dimensões dos espaços de partida e chegada. Esse teorema diz que se uma transformação linear é injetiva e sobrejetora (ou seja, bijetora), então as dimensões dos espaços devem ser iguais. Ou seja, .

Passo 5

Aplicando esse teorema ao nosso problema, sabemos que é uma transformação linear que é tanto injetiva quanto sobrejetora. Portanto, pela relação , temos que:

Resposta

O valor de é 5.

Exercícios relacionados

Para cada transformação linear abaixo, verifique se é invertível e calcule a inversa, , se ela existe. definida por
Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(b)
Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(a)
Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
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