Seja
uma transformação linear. Se
é sobrejetora e injetiva, qual o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
. A transformação
é sobrejetora (ou seja, atinge todo o espaço de chegada) e injetiva (não tem dois pontos diferentes que mapeiam para o mesmo ponto). Queremos descobrir qual é o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de transformações lineares, especialmente sobrejetividade, injetividade e a relação entre as dimensões dos espaços envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
é injetiva se o núcleo (ou kernel) de
contém apenas o vetor zero. Isso significa que não existem dois vetores diferentes em
que
mapeia para o mesmo vetor em
.
Matematicamente, isso é expresso como:
Se
, então
é injetiva.
Passo 3
Por outro lado, uma transformação linear
é sobrejetora se a imagem (ou imagem) de
é todo o espaço de chegada
. Isso significa que para todo vetor em
, existe pelo menos um vetor em
que
mapeia para ele.
Em termos matemáticos:
Passo 4
Agora, há um teorema importante em álgebra linear que relaciona a injetividade e a sobrejetividade de uma transformação linear com as dimensões dos espaços de partida e chegada. Esse teorema diz que se uma transformação linear
é injetiva e sobrejetora (ou seja, bijetora), então as dimensões dos espaços devem ser iguais. Ou seja,
.
Passo 5
Aplicando esse teorema ao nosso problema, sabemos que
é uma transformação linear que é tanto injetiva quanto sobrejetora. Portanto, pela relação
, temos que:
Resposta
O valor de
é 5.
Exercícios relacionados
Para cada transformação linear abaixo, verifique se
é invertível e calcule a inversa,
, se ela existe.
definida por
Fatore as matrizes abaixo como
, onde
é não-singular e
é diagonal.
(b)
(b)
Fatore as matrizes abaixo como
, onde
é não-singular e
é diagonal.
(a)
(a)
Fatore as matrizes abaixo como
, onde
é não-singular e
é diagonal.
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