Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fatorar a matriz da forma , onde é uma matriz não-singular (ou seja, que tem inversa) e é uma matriz diagonal. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente de diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de . Valores próprios são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
Nossa matriz é:
A matriz identidade de ordem 2 é:
Então, fica:
Agora, calculamos o determinante:
Para encontrar os valores próprios, resolvemos :
Então, os valores próprios são e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Vetores próprios são vetores não nulos que satisfazem .
Para :
Queremos resolver:
Da primeira equação: . Assim, um vetor próprio é .
Para :
Queremos resolver:
Da primeira equação: . Assim, um vetor próprio é .
Passo 4
Agora que temos os vetores próprios, vamos montar a matriz usando esses vetores como colunas:
E a matriz diagonal com os valores próprios na diagonal:
Por fim, precisamos verificar se é não-singular, ou seja, se sua inversa existe. Calculando o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível.