Fatore as matrizes abaixo como
, onde
é não-singular e
é diagonal.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fatorar a matriz
da forma
, onde
é uma matriz não-singular (ou seja, que tem inversa) e
é uma matriz diagonal. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente de diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de
. Valores próprios são números
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
Nossa matriz
é:
A matriz identidade
de ordem 2 é:
Então,
fica:
Agora, calculamos o determinante:
Para encontrar os valores próprios, resolvemos
:
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Vetores próprios são vetores não nulos
que satisfazem
.
Para
:
Queremos resolver:
Da primeira equação:
. Assim, um vetor próprio é
.
Para
:
Queremos resolver:
Da primeira equação:
. Assim, um vetor próprio é
.
Passo 4
Agora que temos os vetores próprios, vamos montar a matriz
usando esses vetores como colunas:
E a matriz diagonal
com os valores próprios na diagonal:
Por fim, precisamos verificar se
é não-singular, ou seja, se sua inversa existe. Calculando o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero,
é invertível.
Resposta
Portanto, a fatoração de
é: