Fatore as matrizes abaixo como A=X Lambda X^-1, onde X é não-singular e Lambda é diagonal.
(a) A=[ll0 & 1 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fatorar a matriz da forma , onde é uma matriz não-singular (ou seja, que tem inversa) e é uma matriz diagonal. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente de diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de A = 0 & 1 1 & 0 . Valores próprios são números I = 1 & 0 0 & 1 que satisfazem a equação A - lambda I = 0 - lambda & 1 1 & 0 - lambda = -lambda & 1 1 & -lambda , onde det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (1)(1) = lambda^2 - 1 é a matriz identidade.
Nossa matriz lambda^2 = 1 Rightarrow lambda = pm 1 é:
A matriz identidade de ordem 2 é:
Então, fica:
Agora, calculamos o determinante:
Para encontrar os valores próprios, resolvemos :
Então, os valores próprios são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Vetores próprios são vetores não nulos A - lambda1 I = -1 & 1 1 & -1 que satisfazem -1 & 1 1 & -1 v1 v2 = 0 0 .
Para 1 1 :
A - lambda2 I = 1 & 1 1 & 1
Queremos resolver:
1 & 1 1 & 1 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: 1 -1 . Assim, um vetor próprio é .
Para :
Queremos resolver:
Da primeira equação: . Assim, um vetor próprio é .

Passo 4

Agora que temos os vetores próprios, vamos montar a matriz X = 1 & 1 1 & -1 usando esses vetores como colunas:
Lambda = 1 & 0 0 & -1
E a matriz diagonal det(X) = (1)(-1) - (1)(1) = -1 -1 = -2 neq 0 com os valores próprios na diagonal:
Por fim, precisamos verificar se é não-singular, ou seja, se sua inversa existe. Calculando o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível.

Resposta

Portanto, a fatoração de A = X Lambda X^-1 = 1 & 1 1 & -1 1 & 0 0 & -1 1 & 1 1 & -1 ^-1 é:

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