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Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear tal que
T(e1)=(1,2), T(e2)=(0,1) e T(e3)=(-1,3)
sendo e1, e2, e3 a base canônica de R^3.
a) Determine o Nuc(T) e uma de suas bases. T é injetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear e uma base para esse núcleo. Além disso, temos que verificar se é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como determinar se a transformação é injetora. Vamos usar um pouco de álgebra linear, principalmente sobre sistemas lineares e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear Nuc(T) = v in R^3 mid T(v) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Isso significa que precisamos encontrar todos os vetores em que, quando aplicamos a transformação , resultam em .

Passo 3

Sabemos como T(e1) = (1, 2), T(e2) = (0, 1), T(e3) = (-1, 3) age sobre os vetores da base canônica:
v = x e1 + y e2 + z e3
Qualquer vetor T(v) = x T(e1) + y T(e2) + z T(e3) = x(1, 2) + y(0, 1) + z(-1, 3) em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base:
Aplicando a transformação a , temos:
Vamos expandir isso componente a componente.

Passo 4

Calculando a primeira componente:
x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot (-1) = x - z
E a segunda componente:
x cdot 2 + y cdot 1 + z cdot 3 = 2x + y + 3z
Para que x - z = 0 2x + y + 3z = 0 , ambas as componentes devem ser zero:

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações lineares:
x - z = 0 (1) 2x + y + 3z = 0 (2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem as equações.

Passo 6

Da equação (1), podemos expressar x = z em função de 2(z) + y + 3z = 0 2z + 3z + y = 0 5z + y = 0 y = -5z :
x = z e y = -5z
Substituindo na equação (2):
Então, temos que:

Passo 7

Vamos parametrizar as soluções em termos de x = t y = -5t z = t . Seja v = (t, -5t, t) = t(1, -5, 1) , onde é um parâmetro real. Então:
Podemos escrever o vetor como:
Isso significa que todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares do vetor .

Passo 8

Assim, o núcleo de é o conjunto dos vetores , onde . Portanto, o núcleo é gerado pelo vetor , o que forma uma base para .

Passo 9

Para verificar se é injetora, precisamos lembrar que uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo da transformação contém apenas o vetor zero. Ou seja, se , então é injetora.

Passo 10

No nosso caso, encontramos que:
Nuc(T) = t(1, -5, 1) mid t in R
Isso significa que existem infinitos vetores diferentes de zero no núcleo de . Portanto, não é injetora.

Resposta

O núcleo de é o conjunto dos vetores , e uma base para é . A transformação não é injetora.

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