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Seja
uma transformação linear tal que
sendo
a base canônica de
.
a) Determine o
e uma de suas bases.
é injetora?
Seja
a) Determine o
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear
e uma base para esse núcleo. Além disso, temos que verificar se
é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como determinar se a transformação é injetora. Vamos usar um pouco de álgebra linear, principalmente sobre sistemas lineares e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja:
Isso significa que precisamos encontrar todos os vetores
em
que, quando aplicamos a transformação
, resultam em
.
Passo 3
Sabemos como
age sobre os vetores da base canônica:
Qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base:
Aplicando a transformação
a
, temos:
Vamos expandir isso componente a componente.
Passo 4
Calculando a primeira componente:
E a segunda componente:
Para que
, ambas as componentes devem ser zero:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
que satisfazem as equações.
Passo 6
Da equação (1), podemos expressar
em função de
:
Substituindo
na equação (2):
Então, temos que:
Passo 7
Vamos parametrizar as soluções em termos de
. Seja
, onde
é um parâmetro real. Então:
Podemos escrever o vetor
como:
Isso significa que todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares do vetor
.
Passo 8
Assim, o núcleo de
é o conjunto dos vetores
, onde
. Portanto, o núcleo é gerado pelo vetor
, o que forma uma base para
.
Passo 9
Para verificar se
é injetora, precisamos lembrar que uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo da transformação contém apenas o vetor zero. Ou seja, se
, então
é injetora.
Passo 10
No nosso caso, encontramos que:
Isso significa que existem infinitos vetores diferentes de zero no núcleo de
. Portanto,
não é injetora.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto dos vetores
, e uma base para
é
. A transformação
não é injetora.
Exercícios relacionados
Seja
uma transformação linear tal que
sendo
a base canônica de
.
b) Determine o e uma de suas bases.
é sobrejetora?
b) Determine o
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
b) tal que
b)
Para cada transformação linear abaixo, verifique se
é invertível e calcule a inversa,
, se ela existe.
c) definida por
c)
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
c) tal que
c)