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Seja uma transformação linear tal que
sendo a base canônica de .
a) Determine o e uma de suas bases. é injetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear e uma base para esse núcleo. Além disso, temos que verificar se é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como determinar se a transformação é injetora. Vamos usar um pouco de álgebra linear, principalmente sobre sistemas lineares e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Isso significa que precisamos encontrar todos os vetores em que, quando aplicamos a transformação , resultam em .

Passo 3

Sabemos como age sobre os vetores da base canônica:
Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base:
Aplicando a transformação a , temos:
Vamos expandir isso componente a componente.

Passo 4

Calculando a primeira componente:
E a segunda componente:
Para que , ambas as componentes devem ser zero:

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem as equações.

Passo 6

Da equação (1), podemos expressar em função de :
Substituindo na equação (2):
Então, temos que:

Passo 7

Vamos parametrizar as soluções em termos de . Seja , onde é um parâmetro real. Então:
Podemos escrever o vetor como:
Isso significa que todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares do vetor .

Passo 8

Assim, o núcleo de é o conjunto dos vetores , onde . Portanto, o núcleo é gerado pelo vetor , o que forma uma base para .

Passo 9

Para verificar se é injetora, precisamos lembrar que uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo da transformação contém apenas o vetor zero. Ou seja, se , então é injetora.

Passo 10

No nosso caso, encontramos que:
Isso significa que existem infinitos vetores diferentes de zero no núcleo de . Portanto, não é injetora.

Resposta

O núcleo de é o conjunto dos vetores , e uma base para é . A transformação não é injetora.

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Seja uma transformação linear tal que
sendo a base canônica de .
b) Determine o e uma de suas bases. é sobrejetora?
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
b) tal que
Para cada transformação linear abaixo, verifique se é invertível e calcule a inversa, , se ela existe.
c) definida por
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
c) tal que