Seja
uma transformação linear tal que
sendo
a base canônica de
.
b) Determine o
e uma de suas bases.
é sobrejetora?
b) Determine o
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
que leva os vetores da base canônica de
para certos vetores em
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a imagem de
(chamada de
), encontrar uma base para essa imagem e ver se
é sobrejetora, ou seja, se ela “cobre” todo o espaço
. Para isso, vamos precisar entender como combinar as imagens dos vetores da base para formar a imagem completa da transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a qualquer vetor do
. Matematicamente, isso significa:
Sabemos que
é linear, então para qualquer vetor
, temos:
Dado que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos expressar
de forma mais clara:
Simplificando:
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
,
e
.
Passo 4
Para encontrar
, precisamos descobrir o conjunto de todas essas combinações lineares. Em termos de espaço vetorial, isso significa que
é o espaço gerado pelos vetores
,
e
:
Mas como estamos em
, que é um espaço de dimensão 2, podemos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se não forem, podemos eliminar o vetor redundante para encontrar uma base.
Passo 5
Vamos verificar a independência linear dos vetores
,
e
. Para isso, colocamos esses vetores como colunas em uma matriz e calculamos o posto:
Calculando o determinante dos dois primeiros vetores:
Como o determinante é diferente de zero, os dois primeiros vetores são linearmente independentes. O terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos dois primeiros, então não precisamos dele para a base.
Passo 6
Portanto, uma base para
é formada pelos vetores
e
:
Passo 7
Para saber se
é sobrejetora, precisamos verificar se
é igual a todo o espaço
. Como encontramos que
é gerado por dois vetores que são linearmente independentes em
, isso significa que
é de fato todo
.
Resposta
A imagem de
é todo o espaço
, com uma base formada pelos vetores
e
. Portanto,
é sobrejetora.
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
b) tal que
b)
8
Considere o operador linear definido por
Considere o operador linear
a) Determinar o vetor
tal que
.
4
Seja uma transformação linear tal que
Seja
sendo
a base canônica de
.
a) Determine o e uma de suas bases.
é injetora?
a) Determine o
Para cada transformação linear abaixo, verifique se
é invertível e calcule a inversa,
, se ela existe.
c) definida por
c)