Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear tal que
T(e1)=(1,2), T(e2)=(0,1) e T(e3)=(-1,3)
sendo e1, e2, e3 a base canônica de R^3.
b) Determine o Im(T) e uma de suas bases. T é sobrejetora?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que leva os vetores da base canônica de para certos vetores em . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a imagem de (chamada de ), encontrar uma base para essa imagem e ver se é sobrejetora, ou seja, se ela “cobre” todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender como combinar as imagens dos vetores da base para formar a imagem completa da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear Im(T) = T(v) mid v in R^3 é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T(v) = v1 T(e1) + v2 T(e2) + v3 T(e3) a qualquer vetor do T(e1) = (1, 2), T(e2) = (0, 1), T(e3) = (-1, 3) . Matematicamente, isso significa:
T(v) = v1 (1, 2) + v2 (0, 1) + v3 (-1, 3)
Sabemos que é linear, então para qualquer vetor , temos:
Dado que:
Então:

Passo 3

Agora, vamos expressar T(v) = (v1 cdot 1 + v2 cdot 0 + v3 cdot (-1), ; v1 cdot 2 + v2 cdot 1 + v3 cdot 3) de forma mais clara:
T(v) = (v1 - v3, ; 2v1 + v2 + 3v3)
Simplificando:
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 4

Para encontrar Im(T) = span (1, 2), (0, 1), (-1, 3) , precisamos descobrir o conjunto de todas essas combinações lineares. Em termos de espaço vetorial, isso significa que é o espaço gerado pelos vetores , e :
Mas como estamos em , que é um espaço de dimensão 2, podemos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se não forem, podemos eliminar o vetor redundante para encontrar uma base.

Passo 5

Vamos verificar a independência linear dos vetores 1 & 0 & -1 2 & 1 & 3 , Det = (1)(1) - (0)(2) = 1 neq 0 e . Para isso, colocamos esses vetores como colunas em uma matriz e calculamos o posto:
Calculando o determinante dos dois primeiros vetores:
Como o determinante é diferente de zero, os dois primeiros vetores são linearmente independentes. O terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos dois primeiros, então não precisamos dele para a base.

Passo 6

Portanto, uma base para Base de Im(T) = (1, 2), (0, 1) é formada pelos vetores e :

Passo 7

Para saber se é sobrejetora, precisamos verificar se é igual a todo o espaço . Como encontramos que é gerado por dois vetores que são linearmente independentes em , isso significa que é de fato todo .

Resposta

A imagem de Im(T) = span, (1, 2),; (0, 1) , é todo o espaço , com uma base formada pelos vetores e . Portanto, é sobrejetora.

Exercícios relacionados