Seja uma transformação linear tal que
sendo a base canônica de .
b) Determine o e uma de suas bases. é sobrejetora?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que leva os vetores da base canônica de para certos vetores em . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a imagem de (chamada de ), encontrar uma base para essa imagem e ver se é sobrejetora, ou seja, se ela “cobre” todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender como combinar as imagens dos vetores da base para formar a imagem completa da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor do . Matematicamente, isso significa:
Sabemos que é linear, então para qualquer vetor , temos:
Dado que:
Então:

Passo 3

Agora, vamos expressar de forma mais clara:
Simplificando:
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 4

Para encontrar , precisamos descobrir o conjunto de todas essas combinações lineares. Em termos de espaço vetorial, isso significa que é o espaço gerado pelos vetores , e :
Mas como estamos em , que é um espaço de dimensão 2, podemos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se não forem, podemos eliminar o vetor redundante para encontrar uma base.

Passo 5

Vamos verificar a independência linear dos vetores , e . Para isso, colocamos esses vetores como colunas em uma matriz e calculamos o posto:
Calculando o determinante dos dois primeiros vetores:
Como o determinante é diferente de zero, os dois primeiros vetores são linearmente independentes. O terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos dois primeiros, então não precisamos dele para a base.

Passo 6

Portanto, uma base para é formada pelos vetores e :

Passo 7

Para saber se é sobrejetora, precisamos verificar se é igual a todo o espaço . Como encontramos que é gerado por dois vetores que são linearmente independentes em , isso significa que é de fato todo .

Resposta

A imagem de é todo o espaço , com uma base formada pelos vetores e . Portanto, é sobrejetora.

Exercícios relacionados

Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
b) tal que
8
Considere o operador linear definido por
a) Determinar o vetor tal que .
4
Seja uma transformação linear tal que
sendo a base canônica de .
a) Determine o e uma de suas bases. é injetora?
Para cada transformação linear abaixo, verifique se é invertível e calcule a inversa, , se ela existe.
c) definida por