Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
T: R^3 R^4 tal que T(x, y, z)=(-5 x-y+10 z,-x+2 y+z, 2 x-3 y+5 z,-4 x+4 y-5 z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação .
(ii) A imagem da transformação .
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaço nulo (núcleo) e imagem (espaço gerado pelas colunas da matriz da transformação).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de -5x - y + 10z = 0 -x + 2y + z = 0 2x - 3y + 5z = 0 -4x + 4y - 5z = 0 , ou seja, todos os vetores em que satisfazem . Isso significa que temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Vamos montar a matriz aumentada e usar a eliminação de Gauss para encontrar as soluções.
A matriz aumentada é:
-5 & -1 & 10 & | & 0 -1 & 2 & 1 & | & 0 2 & -3 & 5 & | & 0 -4 & 4 & -5 & | & 0

Passo 4

Aplicamos a eliminação de Gauss:
  1. Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar os cálculos:
-1 & 2 & 1 & | & 0 -5 & -1 & 10 & | & 0 2 & -3 & 5 & | & 0 -4 & 4 & -5 & | & 0
  1. Multiplicamos a primeira linha por -1 para tornar o pivô positivo:
1 & -2 & -1 & | & 0 -5 & -1 & 10 & | & 0 2 & -3 & 5 & | & 0 -4 & 4 & -5 & | & 0
  1. Eliminamos o -5 + 5(1) = 0 -1 + 5(-2) = -11 10 + 5(-1) = 5 0 + 5(0) = 0 das outras linhas:
  • Linha2 + 5 * Linha1:
2 - 2(1) = 0 -3 - 2(-2) = 1 5 - 2(-1) = 7 0 - 2(0) = 0
  • Linha3 - 2 * Linha1:
-4 + 4(1) = 0 4 + 4(-2) = -4 -5 + 4(-1) = -9 0 + 4(0) = 0
  • Linha4 + 4 * Linha1:
1 & -2 & -1 & | & 0 0 & -11 & 5 & | & 0 0 & 1 & 7 & | & 0 0 & -4 & -9 & | & 0
A matriz fica:

Passo 5

Continuamos a eliminação:
  1. Vamos focar na segunda coluna. Usamos a terceira linha para criar um pivô:
Multiplicamos a terceira linha por 11 e somamos com a segunda linha para eliminar o 0 + 0 = 0 -11 + 11(1) = 0 5 + 11(7) = 82 0 + 11(0) = 0 :
0 + 0 = 0 -4 + 4(1) = 0 -9 + 4(7) = 19 0 + 4(0) = 0
  1. Fazemos algo similar para a quarta linha:
Multiplicamos a terceira linha por 4 e somamos com a quarta linha:
1 & -2 & -1 & | & 0 0 & 0 & 82 & | & 0 0 & 1 & 7 & | & 0 0 & 0 & 19 & | & 0
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Simplificamos as equações:
  1. Da segunda linha:
82z = 0 implies z = 0
  1. Da terceira linha:
y + 7z = 0 implies y = 0
  1. Da primeira linha:
x - 2y - z = 0 implies x = 0

Passo 7

Então, a única solução é , , . Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero. Isso significa que o núcleo é trivial.
Uma base para o núcleo é o conjunto vazio, já que só contém o zero, e a dimensão é 0.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a imagem de A = -5 & -1 & 10 -1 & 2 & 1 2 & -3 & 5 -4 & 4 & -5 . A imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz de .
A matriz de é:
Vamos determinar o posto dessa matriz para encontrar a dimensão da imagem.

Passo 9

Aplicamos a eliminação de Gauss na matriz -1 + (1/5)(-5) = 0 2 + (1/5)(-1) = 2 - 0.2 = 1.8 1 + (1/5)(10) = 1 + 2 = 3 :
  1. Mantemos a primeira linha como está.
  2. Eliminamos o elemento abaixo do primeiro pivô:
  • Linha2 + (1/5)Linha1:
2 - (2/5)(-5) = 2 + 2 = 4 -3 - (2/5)(-1) = -3 + 0.4 = -2.6 5 - (2/5)(10) = 5 - 4 = 1
  1. Linha3 - (2/5)Linha1:
-4 + (4/5)(-5) = -4 - 4 = -8 4 + (4/5)(-1) = 4 - 0.8 = 3.2 -5 + (4/5)(10) = -5 + 8 = 3
  1. Linha4 + (4/5)Linha1:
-5 & -1 & 10 0 & 1.8 & 3 4 & -2.6 & 1 -8 & 3.2 & 3
A matriz fica:

Passo 10

Continuando a eliminação:
  1. Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo por 1.8:
  1. Eliminamos os elementos abaixo do pivô:
  • Linha3 - 4 * Linha2:
0 & 1 & 31.8 = 53
  • Linha4 + 8 * Linha2:
4 - 4(0) = 4 -2.6 - 4(1) = -6.6 1 - 4(53) = 1 - 203 = -173
A matriz fica:
-8 + 8(0) = -8 3.2 + 8(1) = 11.2 3 + 8(53) = 3 + 403 = 493

Passo 11

Observamos que as linhas 3 e 4 não adicionam novas informações além das colunas já pivôs. Portanto, o posto da matriz é 2, o que significa que a dimensão da imagem de é 2.

Resposta

(i) O núcleo de -5 -1 2 -4 , -1 2 -3 4 é trivial, contendo apenas o vetor zero. Portanto, uma base para o núcleo é o conjunto vazio e a dimensão é .
(ii) A imagem de tem dimensão . Uma base para a imagem pode ser formada por duas colunas linearmente independentes da matriz de , por exemplo:

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