Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação .
(ii) A imagem da transformação .
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaço nulo (núcleo) e imagem (espaço gerado pelas colunas da matriz da transformação).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que satisfazem . Isso significa que temos o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Vamos montar a matriz aumentada e usar a eliminação de Gauss para encontrar as soluções.
Então, a única solução é , , . Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero. Isso significa que o núcleo é trivial.
Uma base para o núcleo é o conjunto vazio, já que só contém o zero, e a dimensão é 0.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a imagem de A = -5 & -1 & 10 -1 & 2 & 1 2 & -3 & 5 -4 & 4 & -5 . A imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz de .
A matriz de é:
Vamos determinar o posto dessa matriz para encontrar a dimensão da imagem.
Observamos que as linhas 3 e 4 não adicionam novas informações além das colunas já pivôs. Portanto, o posto da matriz é 2, o que significa que a dimensão da imagem de é 2.
Resposta
(i) O núcleo de -5 -1 2 -4 , -1 2 -3 4 é trivial, contendo apenas o vetor zero. Portanto, uma base para o núcleo é o conjunto vazio e a dimensão é .
(ii) A imagem de tem dimensão . Uma base para a imagem pode ser formada por duas colunas linearmente independentes da matriz de , por exemplo: