Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação .
(ii) A imagem da transformação .
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaço nulo (núcleo) e imagem (espaço gerado pelas colunas da matriz da transformação).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que satisfazem . Isso significa que temos o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Vamos montar a matriz aumentada e usar a eliminação de Gauss para encontrar as soluções.
A matriz aumentada é:
Passo 4
Aplicamos a eliminação de Gauss:
Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar os cálculos:
Multiplicamos a primeira linha por -1 para tornar o pivô positivo:
Eliminamos o das outras linhas:
Linha2 + 5 * Linha1:
Linha3 - 2 * Linha1:
Linha4 + 4 * Linha1:
A matriz fica:
Passo 5
Continuamos a eliminação:
Vamos focar na segunda coluna. Usamos a terceira linha para criar um pivô:
Multiplicamos a terceira linha por 11 e somamos com a segunda linha para eliminar o :
Fazemos algo similar para a quarta linha:
Multiplicamos a terceira linha por 4 e somamos com a quarta linha:
Agora, a matriz fica:
Passo 6
Simplificamos as equações:
Da segunda linha:
Da terceira linha:
Da primeira linha:
Passo 7
Então, a única solução é , , . Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero. Isso significa que o núcleo é trivial.
Uma base para o núcleo é o conjunto vazio, já que só contém o zero, e a dimensão é 0.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz de .
A matriz de é:
Vamos determinar o posto dessa matriz para encontrar a dimensão da imagem.
Passo 9
Aplicamos a eliminação de Gauss na matriz :
Mantemos a primeira linha como está.
Eliminamos o elemento abaixo do primeiro pivô:
Linha2 + (1/5)Linha1:
Linha3 - (2/5)Linha1:
Linha4 + (4/5)Linha1:
A matriz fica:
Passo 10
Continuando a eliminação:
Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo por 1.8:
Eliminamos os elementos abaixo do pivô:
Linha3 - 4 * Linha2:
Linha4 + 8 * Linha2:
A matriz fica:
Passo 11
Observamos que as linhas 3 e 4 não adicionam novas informações além das colunas já pivôs. Portanto, o posto da matriz é 2, o que significa que a dimensão da imagem de é 2.
Resposta
(i) O núcleo de é trivial, contendo apenas o vetor zero. Portanto, uma base para o núcleo é o conjunto vazio e a dimensão é .
(ii) A imagem de tem dimensão . Uma base para a imagem pode ser formada por duas colunas linearmente independentes da matriz de , por exemplo: