Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação .
(ii) A imagem da transformação .
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaço nulo (núcleo) e imagem (espaço gerado pelas colunas da matriz da transformação).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que satisfazem . Isso significa que temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Vamos montar a matriz aumentada e usar a eliminação de Gauss para encontrar as soluções.
A matriz aumentada é:

Passo 4

Aplicamos a eliminação de Gauss:
  1. Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar os cálculos:
  1. Multiplicamos a primeira linha por -1 para tornar o pivô positivo:
  1. Eliminamos o das outras linhas:
  • Linha2 + 5 * Linha1:
  • Linha3 - 2 * Linha1:
  • Linha4 + 4 * Linha1:
A matriz fica:

Passo 5

Continuamos a eliminação:
  1. Vamos focar na segunda coluna. Usamos a terceira linha para criar um pivô:
Multiplicamos a terceira linha por 11 e somamos com a segunda linha para eliminar o :
  1. Fazemos algo similar para a quarta linha:
Multiplicamos a terceira linha por 4 e somamos com a quarta linha:
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Simplificamos as equações:
  1. Da segunda linha:
  1. Da terceira linha:
  1. Da primeira linha:

Passo 7

Então, a única solução é , , . Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero. Isso significa que o núcleo é trivial.
Uma base para o núcleo é o conjunto vazio, já que só contém o zero, e a dimensão é 0.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz de .
A matriz de é:
Vamos determinar o posto dessa matriz para encontrar a dimensão da imagem.

Passo 9

Aplicamos a eliminação de Gauss na matriz :
  1. Mantemos a primeira linha como está.
  2. Eliminamos o elemento abaixo do primeiro pivô:
  • Linha2 + (1/5)Linha1:
  1. Linha3 - (2/5)Linha1:
  1. Linha4 + (4/5)Linha1:
A matriz fica:

Passo 10

Continuando a eliminação:
  1. Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo por 1.8:
  1. Eliminamos os elementos abaixo do pivô:
  • Linha3 - 4 * Linha2:
  • Linha4 + 8 * Linha2:
A matriz fica:

Passo 11

Observamos que as linhas 3 e 4 não adicionam novas informações além das colunas já pivôs. Portanto, o posto da matriz é 2, o que significa que a dimensão da imagem de é 2.

Resposta

(i) O núcleo de é trivial, contendo apenas o vetor zero. Portanto, uma base para o núcleo é o conjunto vazio e a dimensão é .
(ii) A imagem de tem dimensão . Uma base para a imagem pode ser formada por duas colunas linearmente independentes da matriz de , por exemplo:

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Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .