Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
T: R^2 R^4 dada por T(x, y)=(x+y, x-y, 2 x, 2 y).

Passo 1

Beleza! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e do conjunto imagem da transformação linear definida por . Vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range) de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y) = 0 Rightarrow x + y = 0 x - y = 0 2x = 0 2y = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Das duas últimas equações, temos:
2x = 0 Rightarrow x = 0 2y = 0 Rightarrow y = 0
Isso significa que a única solução é e , ou seja, o único vetor no núcleo é o vetor zero.

Passo 4

Então, o núcleo de é apenas o vetor zero. Em termos de base, isso significa que o núcleo é o conjunto trivial. A dimensão do núcleo é a quantidade de vetores na base, que aqui é 0.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o conjunto imagem de T(x, y) = (x+y, x-y, 2x, 2y) = x(1, 1, 2, 0) + y(1, -1, 0, 2) . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Ou seja, queremos expressar em termos de vetores geradores.

Passo 6

Os vetores a(1, 1, 2, 0) + b(1, -1, 0, 2) = (0, 0, 0, 0) e a + b = 0 a - b = 0 2a = 0 2b = 0 geram a imagem de . Para confirmar que são linearmente independentes, verificamos se a única combinação linear que dá zero é a trivial:
Isso leva ao sistema:
A única solução é e , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como os vetores e são linearmente independentes e geram a imagem, eles formam uma base para a imagem de . A dimensão da imagem é o número de vetores na base, que é 2.

Resposta

(i) Núcleo de :
  • Base: (conjunto vazio)
  • Dimensão: 0
(ii) Conjunto imagem de :
  • Base:
  • Dimensão: 2

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