Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. dada por .
Passo 1
Beleza! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e do conjunto imagem da transformação linear definida por . Vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range) de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Das duas últimas equações, temos:
Isso significa que a única solução é e , ou seja, o único vetor no núcleo é o vetor zero.
Passo 4
Então, o núcleo de é apenas o vetor zero. Em termos de base, isso significa que o núcleo é o conjunto trivial. A dimensão do núcleo é a quantidade de vetores na base, que aqui é 0.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o conjunto imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Ou seja, queremos expressar em termos de vetores geradores.
Passo 6
Os vetores e geram a imagem de . Para confirmar que são linearmente independentes, verificamos se a única combinação linear que dá zero é a trivial:
Isso leva ao sistema:
A única solução é e , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como os vetores e são linearmente independentes e geram a imagem, eles formam uma base para a imagem de . A dimensão da imagem é o número de vetores na base, que é 2.