Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base e determinar a dimensão para:
O núcleo da transformação (ou seja, todos os vetores que manda para o vetor zero).
O conjunto imagem da transformação (todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de ).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, sistemas lineares e como encontrar bases e dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em tal que (o vetor zero de ).
Então, temos que:
Isso significa que os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e que satisfazem todas elas.
Passo 3
Vamos resolver o sistema:
çãçãçã
Primeiro, da Equação 1, podemos expressar em termos de e :
Agora, substituímos na Equação 2:
Agora, substituímos e na Equação 3:
Então, e, consequentemente, . Substituindo de volta em :
Portanto, o único vetor no núcleo é . Isso significa que o núcleo é trivial.
Passo 4
Como o núcleo só contém o vetor zero, podemos concluir que a dimensão do núcleo é 0. Além disso, uma base para o núcleo é o conjunto vazio, já que não há vetores além do zero.
Resumo para o núcleo:
Base do núcleo: conjunto vazio .
Dimensão do núcleo: 0.
Passo 5
Agora vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter aplicando a vetores de . Para isso, vamos ver quais combinações lineares dos coeficientes e formam os termos de .
A transformação é dada por:
Podemos escrever isso como uma combinação linear dos vetores de :
Portanto, a imagem de é o espaço gerado por esses três polinômios:
Passo 6
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos verificar se esses três polinômios são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base. Caso contrário, eliminamos os dependentes.
Vamos montar uma matriz com os coeficientes desses polinômios e verificar o posto dessa matriz:
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Como o determinante é diferente de zero (), os polinômios são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para a imagem.
Passo 7
Já que temos três polinômios linearmente independentes na imagem, a dimensão da imagem é 3. Mas lembrando que a transformação mapeia para , que é um espaço de dimensão 3, isso confirma que a imagem de é de fato todo o .