Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear T(x, y) = 1 & 2 3 & 1 -4 & -3 -1 & -2 cdot x y definida pela matriz:
O que precisamos encontrar são a base e a dimensão do núcleo (ou kernel) e do conjunto imagem (ou imagem) dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como soluções de sistemas lineares e espaço de colunas.
Passo 2
Vamos começar encontrando o núcleo de 1 & 2 3 & 1 -4 & -3 -1 & -2 cdot x y = 0 0 0 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores 1x + 2y = 0 3x + 1y = 0 -4x -3y = 0 -1x -2y = 0 em 3(-2y) + y = 0 -6y + y = 0 -5y = 0 y = 0 que satisfazem . Ou seja:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos pegar as duas primeiras equações:
→
Substituindo na segunda equação:
Então, . Portanto, a única solução é e . Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o conjunto imagem de 1 & 2 3 & 1 -4 & -3 -1 & -2 . A imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz de v1 = 1 3 -4 -1 , v2 = 2 1 -3 -2 . Basicamente, é o espaço gerado pelas colunas da matriz.
A matriz de 2 = c cdot 1 Rightarrow c = 2 1 = c cdot 3 Rightarrow 1 = 2 cdot 3 Rightarrow 1 = 6 (não é verdade) é:
Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes. Se sim, elas formam uma base da imagem.
Vamos montar as colunas:
Para verificar a independência linear, vemos se existe algum escalar tal que . Vamos comparar os componentes:
ãé
Como não existe um que satisfaça todas as equações, as colunas são linearmente independentes. Portanto, a imagem de é gerada por e , e a dimensão da imagem é 2.