Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
T: M(2,2) R^3 dada por T([lla & b c & d])=(a+7 b-5 c, 3 c+2 d,-a+9 b-d).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear T( a & b c & d ) = (a + 7b - 5c,, 3c + 2d, -a + 9b - d) definida por:
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaço vetorial, núcleo (ou kernel) e imagem (ou imagem) de uma transformação linear. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação a & b c & d . O núcleo é o conjunto de todas as matrizes T( a & b c & d ) = 0 0 0 que são enviadas para o vetor zero em a + 7b - 5c = 0 3c + 2d = 0 -a + 9b - d = 0 . Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre 3c + 2d = 0 implies d = -32c e -a + 9b - (-32c) = 0 implies -a + 9b + 32c = 0 implies a = 9b + 32c . A segunda equação nos dá:
(9b + 32c) + 7b - 5c = 0 implies 16b - 72c = 0 implies 16b = 72c implies b = 732c
Agora, substituímos na terceira equação:
Substituímos na primeira equação:

Passo 4

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de b = 732c a = 9(732c) + 32c = 6332c + 4832c = 11132c d = -32c :
c 11132 & 732 1 & -32
Podemos usar como parâmetro livre. Assim, todas as matrizes no núcleo são múltiplos de:
Podemos simplificar os coeficientes para facilitar.

Passo 5

Multiplicando por 32 para eliminar os denominadores:
c 111 & 7 32 & -48
Portanto, uma base para o núcleo de 111 & 7 32 & -48 é:
E como temos apenas um vetor independente nesta base, a dimensão do núcleo é 1.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem da transformação a & b c & d . A imagem é o conjunto de todos os vetores em T( a & b c & d ) = a 1 0 -1 + b 7 0 9 + c -5 3 0 + d 0 2 -1 que podem ser obtidos como .
Vamos montar a matriz dos coeficientes para ver a combinação linear dos parâmetros :
Queremos ver o espaço gerado por essas quatro colunas.

Passo 7

Montamos a matriz cujas colunas são os vetores acima:
A = 1 & 7 & -5 & 0 0 & 0 & 3 & 2 -1 & 9 & 0 & -1
Vamos reduzir essa matriz para escada para encontrar a dimensão da imagem.

Passo 8

Aplicando operações de linha:
  1. Mantenho a primeira linha.
  2. A segunda linha já está boa.
  3. Adiciono a primeira linha à terceira para eliminar o -1:
A = 1 & 7 & -5 & 0 0 & 0 & 3 & 2 0 & 16 & -5 & -1
  1. Agora, vamos focar na segunda coluna. A segunda coluna da segunda linha é zero, então vamos trocar com a terceira linha se possível:
A = 1 & 7 & -5 & 0 0 & 16 & -5 & -1 0 & 0 & 3 & 2
Agora, a matriz está em forma de escada.

Passo 9

Observamos que temos três pivôs (elementos não nulos líderes) nas três primeiras colunas, o que indica que os vetores são linearmente independentes.
Isso significa que a imagem de 1 0 -1 ,, 7 0 9 ,, -5 3 0 é um espaço de dimensão 3.
Uma base para a imagem é formada pelos três primeiros vetores independentes:

Resposta

Núcleo de 111 & 7 32 & -48 :
  • Base: 1 0 -1
  • Dimensão: 1
Imagem de 7 0 9 :
  • Base: -5 3 0
  • Dimensão: 3

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