Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por , em que é a matriz transposta de .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente descobrir uma base e a dimensão do núcleo e do conjunto imagem da transformação linear definida por , onde é a matriz transposta de . Basicamente, vamos trabalhar com matrizes 2x2 e usar conceitos de álgebra linear como núcleo (ou kernel) e imagem (ou conjunto imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de é o conjunto de todas as matrizes em que satisfazem . Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes tais que .

Passo 3

Vamos representar uma matriz genérica 2x2 como:
Então, sua transposta é:
Aplicando a transformação :

Passo 4

Para encontrar o núcleo, queremos que , ou seja:
Isso implica que e . Portanto, .

Passo 5

Então, as matrizes no núcleo são aquelas onde . Ou seja, temos:
Essas matrizes têm três parâmetros livres: , e . Portanto, a dimensão do núcleo é 3.

Passo 6

Para encontrar uma base do núcleo, precisamos encontrar matrizes que são linearmente independentes e que geram todas as matrizes do núcleo. Podemos escolher os seguintes vetores básicos:
Essas três matrizes formam uma base para o núcleo.

Passo 7

Agora, vamos para o conjunto imagem. A imagem de é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como para alguma matriz em . Da nossa transformação:
Note que é uma matriz com zeros na diagonal e onde o elemento (1,2) é o negativo do elemento (2,1).

Passo 8

Isso significa que o conjunto imagem consiste em todas as matrizes semelhantes a matrizes anti-simétricas, ou seja:
onde pode ser qualquer número real. Portanto, a dimensão da imagem é 1.

Passo 9

Uma base para a imagem pode ser a matriz:
Qualquer matriz na imagem pode ser obtida multiplicando essa matriz por um escalar .

Resposta

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Em , considere .
(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é , encontre as coordenadas deste vetor em relação à base .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
tal que .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .