Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por
, em que
é a matriz transposta de
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente descobrir uma base e a dimensão do núcleo e do conjunto imagem da transformação linear
definida por
, onde
é a matriz transposta de
. Basicamente, vamos trabalhar com matrizes 2x2 e usar conceitos de álgebra linear como núcleo (ou kernel) e imagem (ou conjunto imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
é o conjunto de todas as matrizes
em
que satisfazem
. Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes
tais que
.
Passo 3
Vamos representar uma matriz genérica
2x2 como:
Então, sua transposta
é:
Aplicando a transformação
:
Passo 4
Para encontrar o núcleo, queremos que
, ou seja:
Isso implica que
e
. Portanto,
.
Passo 5
Então, as matrizes no núcleo são aquelas onde
. Ou seja, temos:
Essas matrizes têm três parâmetros livres:
,
e
. Portanto, a dimensão do núcleo é 3.
Passo 6
Para encontrar uma base do núcleo, precisamos encontrar matrizes que são linearmente independentes e que geram todas as matrizes do núcleo. Podemos escolher os seguintes vetores básicos:
Essas três matrizes formam uma base para o núcleo.
Passo 7
Agora, vamos para o conjunto imagem. A imagem de
é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como
para alguma matriz
em
. Da nossa transformação:
Note que
é uma matriz com zeros na diagonal e onde o elemento (1,2) é o negativo do elemento (2,1).
Passo 8
Isso significa que o conjunto imagem consiste em todas as matrizes semelhantes a matrizes anti-simétricas, ou seja:
onde
pode ser qualquer número real. Portanto, a dimensão da imagem é 1.
Passo 9
Uma base para a imagem pode ser a matriz:
Qualquer matriz na imagem pode ser obtida multiplicando essa matriz por um escalar
.
Resposta
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Em
, considere
.
(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é , encontre as coordenadas deste vetor em relação à base
.
(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
tal que
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.