Em , considere .
(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é , encontre as coordenadas deste vetor em relação à base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base diferente da base canônica de . A matéria que vamos usar aqui é Mudança de Base, especificamente usando uma base ortonormal. Para resolver, vamos precisar entender como projetar o vetor original em cada um dos vetores da nova base .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor que queremos mudar de base. As coordenadas dele na base canônica são . Vamos chamar esse vetor de .

Passo 3

A base é composta por três vetores:
Observamos que essa base é ortonormal, ou seja, os vetores são mutuamente ortogonais e têm norma 1. Isso facilita muito nossos cálculos!

Passo 4

Para encontrar as coordenadas de na base , precisamos calcular o produto interno de com cada vetor da base . Isso porque, em uma base ortonormal, as coordenadas são simplesmente esses produtos internos.
Então, temos:

Passo 5

Vamos calcular cada coordenada:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por , em que é a matriz transposta de .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
tal que .