Em R^3, considere B=(1raiz6,-1raiz2, 1raiz3),(1raiz6, 1raiz2, 1raiz3),(-2raiz6, 0, 1raiz3).
(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é (-3 raiz6, 6 raiz2,-2 raiz3), encontre as coordenadas deste vetor em relação à base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base diferente da base canônica de . A matéria que vamos usar aqui é Mudança de Base, especificamente usando uma base ortonormal. Para resolver, vamos precisar entender como projetar o vetor original em cada um dos vetores da nova base .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor que queremos mudar de base. As coordenadas dele na base canônica são . Vamos chamar esse vetor de .

Passo 3

A base b1 = (1raiz6, -1raiz2, 1raiz3), b2 = (1raiz6, 1raiz2, 1raiz3), b3 = (-2raiz6, 0, 1raiz3) é composta por três vetores:
Observamos que essa base é ortonormal, ou seja, os vetores são mutuamente ortogonais e têm norma 1. Isso facilita muito nossos cálculos!

Passo 4

Para encontrar as coordenadas de c1 = v cdot b1 na base c2 = v cdot b2 , precisamos calcular o produto interno de c3 = v cdot b3 com cada vetor da base . Isso porque, em uma base ortonormal, as coordenadas são simplesmente esses produtos internos.
Então, temos:

Passo 5

Vamos calcular cada coordenada:
Para c1 = (-3 raiz6) cdot 1raiz6 + (6 raiz2) cdot (-1raiz2) + (-2 raiz3) cdot 1raiz3 :
c1 = -3 + (-6) + (-2) = -11
Simplificando:
c2 = (-3 raiz6) cdot 1raiz6 + (6 raiz2) cdot 1raiz2 + (-2 raiz3) cdot 1raiz3
Para c2 = -3 + 6 + (-2) = 1 :
c3 = (-3 raiz6) cdot (-2raiz6) + (6 raiz2) cdot 0 + (-2 raiz3) cdot 1raiz3
Simplificando:
c3 = 6 + 0 + (-2) = 4
Para :
Simplificando:

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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