Em
, considere
.
(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é
, encontre as coordenadas deste vetor em relação à base
.
(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base diferente da base canônica de
. A matéria que vamos usar aqui é Mudança de Base, especificamente usando uma base ortonormal. Para resolver, vamos precisar entender como projetar o vetor original em cada um dos vetores da nova base
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor que queremos mudar de base. As coordenadas dele na base canônica são
. Vamos chamar esse vetor de
.
Passo 3
A base
é composta por três vetores:
Observamos que essa base é ortonormal, ou seja, os vetores são mutuamente ortogonais e têm norma 1. Isso facilita muito nossos cálculos!
Passo 4
Para encontrar as coordenadas de
na base
, precisamos calcular o produto interno de
com cada vetor da base
. Isso porque, em uma base ortonormal, as coordenadas são simplesmente esses produtos internos.
Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular cada coordenada:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Resposta
As coordenadas do vetor
na base
são
.