Em , considere .
(b) Se as coordenadas de um vetor, em relação à base canônica, é , encontre as coordenadas deste vetor em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base diferente da base canônica de . A matéria que vamos usar aqui é Mudança de Base, especificamente usando uma base ortonormal. Para resolver, vamos precisar entender como projetar o vetor original em cada um dos vetores da nova base .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor que queremos mudar de base. As coordenadas dele na base canônica são . Vamos chamar esse vetor de .
Passo 3
A base é composta por três vetores:
Observamos que essa base é ortonormal, ou seja, os vetores são mutuamente ortogonais e têm norma 1. Isso facilita muito nossos cálculos!
Passo 4
Para encontrar as coordenadas de na base , precisamos calcular o produto interno de com cada vetor da base . Isso porque, em uma base ortonormal, as coordenadas são simplesmente esses produtos internos.