Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
T: R^4 M(2,2) dada por T(x, y, z, w)=[ccx-4 y+7 z-4 w & 3 x-11 y-z-2 w -2 x+9 y-4 z+10 w & -x+5 y+3 z+6 w].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar uma transformação linear , que transforma vetores de 4 dimensões em matrizes 2x2. Precisamos encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação .
(ii) O conjunto imagem da transformação .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaços vetoriais e transformações lineares. Precisaremos montar um sistema de equações a partir de , resolver para encontrar o núcleo e determinar a imagem baseada nas matrizes resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y, z, w) = x - 4y + 7z - 4w & 3x - 11y - z - 2w -2x + 9y - 4z + 10w & -x + 5y + 3z + 6w . O núcleo (ou kernel) de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que manda para a matriz zero. Matemáticamente, queremos resolver .
A transformação é dada por:
Igualando a matriz resultante a zero, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem todas as equações.

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo usando o método de eliminação de Gauss.
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
1 & -4 & 7 & -4 & | & 0 3 & -11 & -1 & -2 & | & 0 -2 & 9 & -4 & 10 & | & 0 -1 & 5 & 3 & 6 & | & 0
Eliminação da primeira coluna:
  • Linha 2: Subtrai 3 vezes a Linha 1:
    3 - 3(1) = 0, -11 - 3(-4) = 1, -1 - 3(7) = -22, -2 - 3(-4) = 10
    Resultado: -2 + 2(1) = 0, 9 + 2(-4) = 1, -4 + 2(7) = 10, 10 + 2(-4) = 2
  • Linha 3: Soma 2 vezes a Linha 1:
    -1 + 1(1) = 0, 5 + 1(-4) = 1, 3 + 1(7) = 10, 6 + 1(-4) = 2
    Resultado: 1 & -4 & 7 & -4 & | & 0 0 & 1 & -22 & 10 & | & 0 0 & 1 & 10 & 2 & | & 0 0 & 1 & 10 & 2 & | & 0
  • Linha 4: Soma 1 vez a Linha 1:
    0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, 10 - (-22) = 32, 2 - 10 = -8
    Resultado: 0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, 10 - (-22) = 32, 2 - 10 = -8
Agora, a matriz fica assim:
1 & -4 & 7 & -4 & | & 0 0 & 1 & -22 & 10 & | & 0 0 & 0 & 32 & -8 & | & 0 0 & 0 & 32 & -8 & | & 0
Eliminação da segunda coluna:
  • Linha 3: Subtrai a Linha 2:
    32z - 8w = 0 Rightarrow 4z - w = 0 Rightarrow w = 4z
    Resultado: y - 22z + 10(4z) = y - 22z + 40z = y + 18z = 0 Rightarrow y = -18z
  • Linha 4: Subtrai a Linha 2:
    x - 4(-18z) + 7z - 4(4z) = x + 72z + 7z - 16z = x + 63z = 0 Rightarrow x = -63z
    Resultado: z = t (t é um parâmetro livre) x = -63t y = -18t w = 4t
Agora, a matriz reduzida é:
x y z w = t -63 -18 1 4 , t in R
Podemos ignorar a última linha pois é redundante. Agora, temos:
Resolvendo a equação 3:
Substituindo na equação 2:
Substituindo e na equação 1:
Expressando as variáveis em termos de :
éâ
Portanto, todo vetor no núcleo de pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de e1 = (1, 0, 0, 0) e2 = (0, 1, 0, 0) e3 = (0, 0, 1, 0) e4 = (0, 0, 0, 1) . A imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando T(1, 0, 0, 0) = 1 - 0 + 0 - 0 & 3(1) - 0 - 0 - 0 -2(1) + 0 - 0 + 0 & -1 + 0 + 0 + 0 = 1 & 3 -2 & -1 a vetores de T(0, 1, 0, 0) = 0 - 4(1) + 0 - 0 & 3(0) - 11(1) - 0 - 0 -2(0) + 9(1) - 0 + 0 & -0 + 5(1) + 0 + 0 = -4 & -11 9 & 5 .
Para isso, vamos calcular T(0, 0, 1, 0) = 0 - 0 + 7(1) - 0 & 3(0) - 0 - 1(1) - 0 -2(0) + 0 - 4(1) + 0 & -0 + 0 + 3(1) + 0 = 7 & -1 -4 & 3 nos vetores da base canônica de T(0, 0, 0, 1) = 0 - 0 + 0 - 4(1) & 3(0) - 0 - 0 - 2(1) -2(0) + 0 - 0 + 10(1) & -0 + 0 + 0 + 6(1) = -4 & -2 10 & 6 e ver quais dessas matrizes são linearmente independentes.
Os vetores da base canônica são:
1 & 3 -2 & -1 , -4 & -11 9 & 5 , 7 & -1 -4 & 3
Calculando :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, precisamos verificar quais dessas matrizes são linearmente independentes. Observando, percebemos que a quarta matriz é uma combinação das primeiras três, portanto, podemos descartar uma delas.
Assim, uma base para a imagem de pode ser:
A dimensão da imagem é 3, já que temos três matrizes linearmente independentes.

Resposta

(i) Núcleo da Transformação -63 -18 1 4
  • Dimensão: 1
  • Base:
1 & 3 -2 & -1 , -4 & -11 9 & 5 , 7 & -1 -4 & 3
(ii) Imagem da Transformação
  • Dimensão: 3
  • Base:

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