Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar uma transformação linear , que transforma vetores de 4 dimensões em matrizes 2x2. Precisamos encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação .
(ii) O conjunto imagem da transformação .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaços vetoriais e transformações lineares. Precisaremos montar um sistema de equações a partir de , resolver para encontrar o núcleo e determinar a imagem baseada nas matrizes resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo (ou kernel) de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que manda para a matriz zero. Matemáticamente, queremos resolver .
A transformação é dada por:
Igualando a matriz resultante a zero, temos o seguinte sistema de equações:
1.
2.
3.
4.
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem todas as equações.
Passo 3
Vamos resolver o sistema passo a passo usando o método de eliminação de Gauss.
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
**Eliminação da primeira coluna:**
- **Linha 2:** Subtrai 3 vezes a Linha 1:
Resultado:
- **Linha 3:** Soma 2 vezes a Linha 1:
Resultado:
- **Linha 4:** Soma 1 vez a Linha 1:
Resultado:
Agora, a matriz fica assim:
**Eliminação da segunda coluna:**
- **Linha 3:** Subtrai a Linha 2:
Resultado:
- **Linha 4:** Subtrai a Linha 2:
Resultado:
Agora, a matriz reduzida é:
Podemos ignorar a última linha pois é redundante. Agora, temos:
1.
2.
3.
**Resolvendo a equação 3:**
**Substituindo na equação 2:**
**Substituindo e na equação 1:**
**Expressando as variáveis em termos de :**
éâ
Portanto, todo vetor no núcleo de pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando a vetores de .
Para isso, vamos calcular nos vetores da base canônica de e ver quais dessas matrizes são linearmente independentes.
Os vetores da base canônica são:
Calculando :
1. **Para :**
2. **Para :**
3. **Para :**
4. **Para :**
Agora, precisamos verificar quais dessas matrizes são linearmente independentes. Observando, percebemos que a quarta matriz é uma combinação das primeiras três, portanto, podemos descartar uma delas.
Assim, uma base para a imagem de pode ser:
A dimensão da imagem é 3, já que temos três matrizes linearmente independentes.
Resposta
(i) **Núcleo da Transformação **
- **Dimensão:** 1
- **Base:**
(ii) **Imagem da Transformação **
- **Dimensão:** 3
- **Base:**