Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar uma transformação linear , que transforma vetores de 4 dimensões em matrizes 2x2. Precisamos encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação .
(ii) O conjunto imagem da transformação .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaços vetoriais e transformações lineares. Precisaremos montar um sistema de equações a partir de , resolver para encontrar o núcleo e determinar a imagem baseada nas matrizes resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo (ou kernel) de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que manda para a matriz zero. Matemáticamente, queremos resolver .
A transformação é dada por:
Igualando a matriz resultante a zero, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem todas as equações.
Passo 3
Vamos resolver o sistema passo a passo usando o método de eliminação de Gauss.
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
Agora, precisamos verificar quais dessas matrizes são linearmente independentes. Observando, percebemos que a quarta matriz é uma combinação das primeiras três, portanto, podemos descartar uma delas.
Assim, uma base para a imagem de pode ser:
A dimensão da imagem é 3, já que temos três matrizes linearmente independentes.