Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para: (i) o núcleo da transformação. (ii) o conjunto imagem da transformação. dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar uma transformação linear , que transforma vetores de 4 dimensões em matrizes 2x2. Precisamos encontrar uma base e a dimensão para: (i) O núcleo da transformação . (ii) O conjunto imagem da transformação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaços vetoriais e transformações lineares. Precisaremos montar um sistema de equações a partir de , resolver para encontrar o núcleo e determinar a imagem baseada nas matrizes resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo (ou kernel) de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que manda para a matriz zero. Matemáticamente, queremos resolver . A transformação é dada por: Igualando a matriz resultante a zero, temos o seguinte sistema de equações: 1. 2. 3. 4. Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem todas as equações.

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema: **Eliminação da primeira coluna:** - **Linha 2:** Subtrai 3 vezes a Linha 1: Resultado: - **Linha 3:** Soma 2 vezes a Linha 1: Resultado: - **Linha 4:** Soma 1 vez a Linha 1: Resultado: Agora, a matriz fica assim: **Eliminação da segunda coluna:** - **Linha 3:** Subtrai a Linha 2: Resultado: - **Linha 4:** Subtrai a Linha 2: Resultado: Agora, a matriz reduzida é: Podemos ignorar a última linha pois é redundante. Agora, temos: 1. 2. 3. **Resolvendo a equação 3:** **Substituindo na equação 2:** **Substituindo e na equação 1:** **Expressando as variáveis em termos de :** éâ Portanto, todo vetor no núcleo de pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando a vetores de . Para isso, vamos calcular nos vetores da base canônica de e ver quais dessas matrizes são linearmente independentes. Os vetores da base canônica são: Calculando : 1. **Para :** 2. **Para :** 3. **Para :** 4. **Para :** Agora, precisamos verificar quais dessas matrizes são linearmente independentes. Observando, percebemos que a quarta matriz é uma combinação das primeiras três, portanto, podemos descartar uma delas. Assim, uma base para a imagem de pode ser: A dimensão da imagem é 3, já que temos três matrizes linearmente independentes.

Resposta

(i) **Núcleo da Transformação ** - **Dimensão:** 1 - **Base:** (ii) **Imagem da Transformação ** - **Dimensão:** 3 - **Base:**

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Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para: (i) o núcleo da transformação. (ii) o conjunto imagem da transformação. dada por , em que é a matriz transposta de .
Encontre a lei de uma transformação linear tal que e .
Seja a transformação linear definida por . Verifique se os seguintes polinômios pertencem ao e/ou à :