Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
T: R^4 R^3 tal que T(x, y, z, w)=(x-2 y-3 z-4 w,-x+2 y-z+4 w, 2 x-3 y+5 z-5 w).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear juntos! A questão pede pra gente encontrar uma base e a dimensão para o núcleo e o conjunto imagem da transformação T(x, y, z, w) = (x - 2y - 3z - 4w, , -x + 2y - z + 4w, , 2x - 3y + 5z - 5w) definida por:
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, núcleo (ou null space) e imagem (ou coluna espaço). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação, que é o conjunto de todos os vetores x - 2y - 3z - 4w = 0 -x + 2y - z + 4w = 0 2x - 3y + 5z - 5w = 0 em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
1 & -2 & -3 & -4 & | & 0 -1 & 2 & -1 & 4 & | & 0 2 & -3 & 5 & -5 & | & 0
Agora, vamos realizar operações elementares para simplificar a matriz e encontrar as variáveis livres.

Passo 4

Primeiro, somamos a primeira linha com a segunda para eliminar o 1 & -2 & -3 & -4 & | & 0 0 & 0 & -4 & 0 & | & 0 2 & -3 & 5 & -5 & | & 0 da segunda equação:
1 & -2 & -3 & -4 & | & 0 0 & 0 & -4 & 0 & | & 0 0 & 1 & 11 & 3 & | & 0
Em seguida, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -4:
1 & -2 & -3 & -4 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 11 & 3 & | & 0
Vamos usar a segunda linha para eliminar o 1 & -2 & -3 & -4 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 0 & 3 & | & 0 das outras linhas. Subtraímos 11 vezes a segunda linha da terceira:
1 & -2 & 0 & -4 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 0 & 3 & | & 0
E somamos 3 vezes a segunda linha à primeira:

Passo 6

Agora, temos o sistema simplificado:
x - 2y - 4w = 0 z = 0 y + 3w = 0
Vamos expressar as variáveis em termos de , que será a variável livre.
Da terceira equação: .
Da primeira equação: .
E já sabemos que .

Passo 7

Então, todos os vetores no núcleo têm a forma:
(x, y, z, w) = (-2w, -3w, 0, w) = w cdot (-2, -3, 0, 1)
Isso significa que a base do núcleo é e a sua dimensão é 1.

Passo 8

Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da transformação 1 & -2 & -3 & -4 -1 & 2 & -1 & 4 2 & -3 & 5 & -5 . Para isso, vamos olhar para as colunas da matriz de :
A imagem é o espaço gerado por essas colunas. Vamos ver quais dessas colunas são linearmente independentes.

Passo 9

Para simplificar, vamos considerar as três primeiras colunas e montar uma matriz com elas:
1 & -2 & -3 -1 & 2 & -1 2 & -3 & 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar a independência:
det = 1(2 cdot 5 - (-1) cdot (-3)) - (-2)(-1 cdot 5 - 2 cdot (-1)) + (-3)(-1 cdot (-3) - 2 cdot 2) = 1(10 - 3) - (-2)(-5 + 2) + (-3)(3 - 4) = 7 - (-2)(-3) + (-3)(-1) = 7 - 6 + 3 = 4 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, as três colunas são linearmente independentes.

Passo 10

Portanto, uma base para o conjunto imagem é formada pelas três primeiras colunas:
, 1 -1 2, -2 2 -3, -3 -1 5 ,
E a dimensão da imagem é 3.

Resposta

(i) Núcleo:
  • Base: , 1 -1 2, -2 2 -3, -3 -1 5 ,
  • Dimensão: 1
(ii) Conjunto imagem:
  • Base:
  • Dimensão: 3

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