Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear juntos! A questão pede pra gente encontrar uma base e a dimensão para o núcleo e o conjunto imagem da transformação definida por:
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, núcleo (ou null space) e imagem (ou coluna espaço). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação, que é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
Agora, vamos realizar operações elementares para simplificar a matriz e encontrar as variáveis livres.
Passo 4
Primeiro, somamos a primeira linha com a segunda para eliminar o da segunda equação:
Em seguida, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -4:
Vamos usar a segunda linha para eliminar o das outras linhas. Subtraímos 11 vezes a segunda linha da terceira:
E somamos 3 vezes a segunda linha à primeira:
Passo 6
Agora, temos o sistema simplificado:
Vamos expressar as variáveis em termos de , que será a variável livre.
Da terceira equação: .
Da primeira equação: .
E já sabemos que .
Passo 7
Então, todos os vetores no núcleo têm a forma:
Isso significa que a base do núcleo é e a sua dimensão é 1.
Passo 8
Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da transformação . Para isso, vamos olhar para as colunas da matriz de :
A imagem é o espaço gerado por essas colunas. Vamos ver quais dessas colunas são linearmente independentes.
Passo 9
Para simplificar, vamos considerar as três primeiras colunas e montar uma matriz com elas:
Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar a independência:
Como o determinante é diferente de zero, as três colunas são linearmente independentes.
Passo 10
Portanto, uma base para o conjunto imagem é formada pelas três primeiras colunas: