Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear juntos! A questão pede pra gente encontrar uma base e a dimensão para o núcleo e o conjunto imagem da transformação definida por:
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, núcleo (ou null space) e imagem (ou coluna espaço). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação, que é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:
Agora, vamos realizar operações elementares para simplificar a matriz e encontrar as variáveis livres.
Passo 4
Primeiro, somamos a primeira linha com a segunda para eliminar o 1 & -2 & -3 & -4 & | & 0 0 & 0 & -4 & 0 & | & 0 2 & -3 & 5 & -5 & | & 0 da segunda equação:
Vamos usar a segunda linha para eliminar o 1 & -2 & -3 & -4 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 0 & 3 & | & 0 das outras linhas. Subtraímos 11 vezes a segunda linha da terceira: