Encontre a lei de uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que N(T)=>=r(1,1,0),(0,0,1) e T(1,3,-1)=(1,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear. A gente precisa encontrar a lei de uma transformação linear sabendo que o núcleo de , , é gerado pelos vetores e . Além disso, sabemos que . Vamos precisar usar conceitos de núcleo, imagem e representação matricial de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados em , resultam no vetor zero. Aqui, é gerado por , o que significa que todo vetor no núcleo pode ser escrito como combinação linear desses vetores.

Passo 3

Como o núcleo tem dois geradores, a dimensão de dim(N(T)) + dim(Im(T)) = dim(R^3) = 3 é 2. Pela relação das dimensões, sabemos que:
Portanto, . Isso quer dizer que a imagem de é uma linha no espaço .

Passo 4

Sabemos que T(x,y,z) = lambda (1, -1, 2) . Como a imagem de é uma linha, todo vetor na imagem é um múltiplo de . Então, podemos escrever:
onde é um escalar que depende de .

Passo 5

Para determinar T(1,1,0) = 0 e T(0,0,1) = 0 , usamos a informação do núcleo. Como T(1,1,0) = lambda1 (1, -1, 2) = (0,0,0) Rightarrow lambda1 = 0 e T(0,0,1) = lambda2 (1, -1, 2) = (0,0,0) Rightarrow lambda2 = 0 estão no núcleo, quando aplicamos nesses vetores, o resultado deve ser zero:
Aplicando nossa expressão para :
Isso indica que deve ser uma combinação linear que anula esses vetores.

Passo 6

Vamos considerar a combinação linear geral:
lambda = a x + b y + c z
Mas como a(1) + b(1) + c(0) = 0 Rightarrow a + b = 0 e a(0) + b(0) + c(1) = 0 Rightarrow c = 0 estão no núcleo, temos:
Portanto, e . Podemos escolher , então .

Passo 7

Substituindo lambda = -x + y + 0 cdot z = -x + y e T(x,y,z) = (-x + y)(1, -1, 2) na expressão de :
Então, a transformação linear fica:

Resposta

A lei da transformação linear T(x, y, z) = (-x + y) cdot (1, -1, 2) é dada por:
T(x, y, z) = (-x + y, x - y, -2x + 2y)
Ou, de forma expandida:

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