Encontre a lei de uma transformação linear
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear. A gente precisa encontrar a lei de uma transformação linear
sabendo que o núcleo de
,
, é gerado pelos vetores
e
. Além disso, sabemos que
. Vamos precisar usar conceitos de núcleo, imagem e representação matricial de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo
é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados em
, resultam no vetor zero. Aqui,
é gerado por
, o que significa que todo vetor no núcleo pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Passo 3
Como o núcleo tem dois geradores, a dimensão de
é 2. Pela relação das dimensões, sabemos que:
Portanto,
. Isso quer dizer que a imagem de
é uma linha no espaço
.
Passo 4
Sabemos que
. Como a imagem de
é uma linha, todo vetor na imagem é um múltiplo de
. Então, podemos escrever:
onde
é um escalar que depende de
.
Passo 5
Para determinar
, usamos a informação do núcleo. Como
e
estão no núcleo, quando aplicamos
nesses vetores, o resultado deve ser zero:
Aplicando nossa expressão para
:
Isso indica que
deve ser uma combinação linear que anula esses vetores.
Passo 6
Vamos considerar a combinação linear geral:
Mas como
e
estão no núcleo, temos:
Portanto,
e
. Podemos escolher
, então
.
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Então, a transformação linear fica:
Resposta
A lei da transformação linear
é dada por:
Ou, de forma expandida:
Exercícios relacionados
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
tal que
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Seja
a transformação linear definida por
.
Verifique se os seguintes polinômios pertencem ao e/ou à
:
Verifique se os seguintes polinômios pertencem ao