Encontre a lei de uma transformação linear tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear. A gente precisa encontrar a lei de uma transformação linear sabendo que o núcleo de , , é gerado pelos vetores e . Além disso, sabemos que . Vamos precisar usar conceitos de núcleo, imagem e representação matricial de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados em , resultam no vetor zero. Aqui, é gerado por , o que significa que todo vetor no núcleo pode ser escrito como combinação linear desses vetores.

Passo 3

Como o núcleo tem dois geradores, a dimensão de é 2. Pela relação das dimensões, sabemos que:
Portanto, . Isso quer dizer que a imagem de é uma linha no espaço .

Passo 4

Sabemos que . Como a imagem de é uma linha, todo vetor na imagem é um múltiplo de . Então, podemos escrever:
onde é um escalar que depende de .

Passo 5

Para determinar , usamos a informação do núcleo. Como e estão no núcleo, quando aplicamos nesses vetores, o resultado deve ser zero:
Aplicando nossa expressão para :
Isso indica que deve ser uma combinação linear que anula esses vetores.

Passo 6

Vamos considerar a combinação linear geral:
Mas como e estão no núcleo, temos:
Portanto, e . Podemos escolher , então .

Passo 7

Substituindo e na expressão de :
Então, a transformação linear fica:

Resposta

A lei da transformação linear é dada por:
Ou, de forma expandida:

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Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
tal que .
Seja a transformação linear definida por .
Verifique se os seguintes polinômios pertencem ao e/ou à :