Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma transformação linear
que vai de
(polinômios de grau no máximo 2) para
(polinômios de grau no máximo 1). A gente precisa encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação
.
(ii) O conjunto imagem da transformação
.
Vamos precisar usar conceitos de transformações lineares como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range), além de resolver sistemas lineares para encontrar as bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios
em
que são mapeados para o polinômio zero em
. Ou seja, queremos encontrar todos
tais que:
Passo 3
Vamos igualar a transformação a zero e resolver o sistema:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos multiplicar a equação (1) por 5 para facilitar a eliminação de
:
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (3):
Agora, substituímos
na equação (1):
Então, temos
e
. Seja
, onde
é um parâmetro real. Portanto, os polinômios no núcleo são:
Passo 5
Agora, vamos determinar uma base para o núcleo. Como todos os polinômios no núcleo são múltiplos de
, isso significa que o núcleo é gerado por esse vetor. Portanto, uma base para o núcleo é:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que é 1.
Passo 6
Vamos agora determinar o conjunto imagem de
. A imagem de
é o conjunto de todos os polinômios em
que podem ser obtidos através de
para algum
em
.
Como
, podemos representar a imagem como o conjunto de pares
.
Isso forma um subespaço de
com até 2 dimensões.
Passo 7
Para encontrar uma base para a imagem, vamos considerar os vetores imagem gerados pelas imagens dos vetores da base de
. Suponha que a base de
seja
.
Calculamos
para cada um:
Agora, verificamos se esses vetores são linearmente independentes. Podemos notar que nenhum deles é múltiplo do outro, então uma possível base para a imagem é:
A dimensão da imagem é 2.
Resposta
(i) Núcleo de
:
- Base:
- Dimensão: 1
(ii) Imagem de
:
- Base:
- Dimensão: 2
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Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde
é fixada.
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde
.
Sejam
e
© A partir da base acima, obtenha uma base
ortonormal, e determine as matrizes
(Sugestão: não precisa, mas você pode observar que
e que
é uma matriz ortogonal).
© A partir da base