Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma transformação linear que vai de (polinômios de grau no máximo 2) para (polinômios de grau no máximo 1). A gente precisa encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação .
(ii) O conjunto imagem da transformação .
Vamos precisar usar conceitos de transformações lineares como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range), além de resolver sistemas lineares para encontrar as bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de é o conjunto de todos os polinômios em que são mapeados para o polinômio zero em . Ou seja, queremos encontrar todos tais que:

Passo 3

Vamos igualar a transformação a zero e resolver o sistema:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos multiplicar a equação (1) por 5 para facilitar a eliminação de :
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (3):
Agora, substituímos na equação (1):
Então, temos e . Seja , onde é um parâmetro real. Portanto, os polinômios no núcleo são:

Passo 5

Agora, vamos determinar uma base para o núcleo. Como todos os polinômios no núcleo são múltiplos de , isso significa que o núcleo é gerado por esse vetor. Portanto, uma base para o núcleo é:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que é 1.

Passo 6

Vamos agora determinar o conjunto imagem de . A imagem de é o conjunto de todos os polinômios em que podem ser obtidos através de para algum em .
Como , podemos representar a imagem como o conjunto de pares .
Isso forma um subespaço de com até 2 dimensões.

Passo 7

Para encontrar uma base para a imagem, vamos considerar os vetores imagem gerados pelas imagens dos vetores da base de . Suponha que a base de seja .
Calculamos para cada um:
Agora, verificamos se esses vetores são linearmente independentes. Podemos notar que nenhum deles é múltiplo do outro, então uma possível base para a imagem é:
A dimensão da imagem é 2.

Resposta

(i) Núcleo de :
  • Base:
  • Dimensão: 1
(ii) Imagem de :
  • Base:
  • Dimensão: 2

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Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é fixada.
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde .
Sejam e
© A partir da base acima, obtenha uma base ortonormal, e determine as matrizes (Sugestão: não precisa, mas você pode observar que e que é uma matriz ortogonal).