Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
T: P2 P1 dada por T(a+b x+c x^2)=(a+2 b-3 c)+(5 a-9 b+4 c) x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma transformação linear que vai de (polinômios de grau no máximo 2) para (polinômios de grau no máximo 1). A gente precisa encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação .
(ii) O conjunto imagem da transformação .
Vamos precisar usar conceitos de transformações lineares como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range), além de resolver sistemas lineares para encontrar as bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T(a + b x + c x^2) = 0 + 0x é o conjunto de todos os polinômios em que são mapeados para o polinômio zero em . Ou seja, queremos encontrar todos tais que:

Passo 3

Vamos igualar a transformação a zero e resolver o sistema:
T(a + b x + c x^2) = (a + 2b - 3c) + (5a - 9b + 4c)x = 0 + 0x
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 2b - 3c = 0 5a - 9b + 4c = 0
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
a + 2b - 3c = 0 (1)
Segunda equação:
5a - 9b + 4c = 0 (2)
Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos multiplicar a equação (1) por 5 para facilitar a eliminação de 5a + 10b - 15c = 0 (3) :
(5a + 10b - 15c) - (5a - 9b + 4c) = 0 - 0
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (3):
5a + 10b - 15c - 5a + 9b - 4c = 0
19b - 19c = 0
b = c
a + 2c - 3c = 0
Agora, substituímos a - c = 0 na equação (1):
a = c
p(x) = t + t x + t x^2 = t(1 + x + x^2)
Então, temos e . Seja , onde é um parâmetro real. Portanto, os polinômios no núcleo são:

Passo 5

Agora, vamos determinar uma base para o núcleo. Como todos os polinômios no núcleo são múltiplos de 1 + x + x^2 , isso significa que o núcleo é gerado por esse vetor. Portanto, uma base para o núcleo é:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que é 1.

Passo 6

Vamos agora determinar o conjunto imagem de . A imagem de é o conjunto de todos os polinômios em que podem ser obtidos através de para algum em .
Como , podemos representar a imagem como o conjunto de pares .
Isso forma um subespaço de com até 2 dimensões.

Passo 7

Para encontrar uma base para a imagem, vamos considerar os vetores imagem gerados pelas imagens dos vetores da base de T(1) = 1 + 2(0) - 3(0) + [5(1) - 9(0) + 4(0)]x = 1 + 5x . Suponha que a base de T(x) = 0 + 2(1) - 3(0) + [5(0) - 9(1) + 4(0)]x = 2 - 9x seja T(x^2) = 0 + 2(0) - 3(1) + [5(0) - 9(0) + 4(1)]x = -3 + 4x .
Calculamos 1 + 5x, 2 - 9x para cada um:
Agora, verificamos se esses vetores são linearmente independentes. Podemos notar que nenhum deles é múltiplo do outro, então uma possível base para a imagem é:
A dimensão da imagem é 2.

Resposta

(i) Núcleo de :
  • Base:
  • Dimensão: 1
(ii) Imagem de :
  • Base:
  • Dimensão: 2

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