Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é fixada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a transformação é linear. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares entre espaços de matrizes. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar das condições que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer matrizes e e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos aplicar a primeira propriedade, a aditividade. Seja . Então:
Agora, vamos ver o que é :
Como , a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar:
Então, , o que satisfaz a homogeneidade.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade estão satisfeitas, a transformação é linear.

Exercícios relacionados

Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é um elemento fixo de
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
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Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde .