Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde
é fixada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a transformação
é linear. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares entre espaços de matrizes. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar das condições que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer matrizes
e
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 3
Vamos aplicar a primeira propriedade, a aditividade. Seja
. Então:
Agora, vamos ver o que é
:
Como
, a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar:
Então,
, o que satisfaz a homogeneidade.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade estão satisfeitas, a transformação
é linear.
Exercícios relacionados
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde
é um elemento fixo de
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde
.