Verifique se as transformações abaixo são lineares: F: Mn times n(R) Mn times n(R), F(X)=A X+X, onde A in Mn times n(R) é fixada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a transformação é linear. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares entre espaços de matrizes. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar das condições que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer matrizes e e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos aplicar a primeira propriedade, a aditividade. Seja F(X + Y) = A(X + Y) + (X + Y) = AX + AY + X + Y . Então:
F(X) + F(Y) = (AX + X) + (AY + Y) = AX + AY + X + Y
Agora, vamos ver o que é :
Como , a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja F(cX) = A(cX) + cX = cAX + cX = c(AX + X) = cF(X) um escalar:
Então, , o que satisfaz a homogeneidade.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade estão satisfeitas, a transformação é linear.

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