Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
T: P2 M(2,2) dada por T(a+b x+c x^2)=[cca+7 b-5 c & -2 a+4 b-2 c 5 a-10 b+5 c & 4 a+b-2 c].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma transformação linear T(a + b x + c x^2) = a + 7b - 5c & -2a + 4b - 2c 5a - 10b + 5c & 4a + b - 2c que vai do espaço de polinômios de grau até 2, , para o espaço das matrizes , . A transformação é definida por:
Nosso objetivo é encontrar:
(i) Uma base e a dimensão do núcleo da transformação .
(ii) Uma base e a dimensão da imagem de .
Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando sistemas lineares.

Passo 2

Vamos começar encontrando o núcleo de a + 7b - 5c = 0 -2a + 4b - 2c = 0 5a - 10b + 5c = 0 4a + b - 2c = 0 . O núcleo é formado por todos os vetores do domínio que são mapeados para a matriz zero. Ou seja, queremos resolver , onde é a matriz nula.
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Começamos simplificando as equações:
  1. a + 7b - 5c = 0 -2a + 4b - 2c = 0 4a + b - 2c = 0 \
  2. \
  3. \
Observamos que a equação 3 é um múltiplo da equação 1 (multiplicada por 5), então podemos descartá-la. Nosso sistema reduz para:

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
-2a + 4b - 2c = 0 implies -2a + 4b = 2c implies c = -2a + 4b2 = -a + 2b
Agora, substituímos na primeira e na terceira equação:
Ambas as equações resultaram em , ou seja, .

Passo 5

Agora que temos a = a b = 2a c = 3a e , podemos expressar todos os coeficientes em termos de :
Isso significa que todo polinômio no núcleo é uma múltiplo de .

Passo 6

Portanto, uma base para o núcleo de é e a dimensão do núcleo é 1, já que temos apenas um vetor na base.

Passo 7

Agora vamos encontrar a imagem de T(1) = T(a=1, b=0, c=0) = 1 + 7(0) - 5(0) & -2(1) + 4(0) - 2(0) 5(1) - 10(0) + 5(0) & 4(1) + 0 - 2(0) = 1 & -2 5 & 4 . A imagem é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando T(x) = T(a=0, b=1, c=0) = 0 + 7(1) - 5(0) & -2(0) + 4(1) - 2(0) 5(0) - 10(1) + 5(0) & 4(0) + 1 - 2(0) = 7 & 4 -10 & 1 a algum polinômio de T(x^2) = T(a=0, b=0, c=1) = 0 + 7(0) - 5(1) & -2(0) + 4(0) - 2(1) 5(0) - 10(0) + 5(1) & 4(0) + 0 - 2(1) = -5 & -2 5 & -2 . Para isso, vamos identificar as colunas geradas pelas imagens dos vetores base de .
Vamos considerar os polinômios base de : , e .
Calculamos:

Passo 8

Agora, a imagem de 1 & 7 & -5 -2 & 4 & -2 5 & -10 & 5 4 & 1 & -2 é o espaço gerado pelas matrizes , e . Vamos verificar se essas matrizes são lineares independentes.
Montamos uma matriz cujas colunas são as entradas das matrizes , , :
Calculamos o posto dessa matriz para determinar a dimensão da imagem. Observamos que há dependências lineares, então otimizamos para encontrar apenas as matrizes independentes.

Passo 9

Após simplificar, descobrimos que as matrizes 1 & -2 5 & 4 , 7 & 4 -10 & 1 e são suficientes para gerar a imagem de , já que pode ser expressa como uma combinação linear delas.
Portanto, uma base para a imagem de é:
E a dimensão da imagem é 2.

Resposta

(i) O núcleo de 1 & -2 5 & 4 tem dimensão 1 e uma base é 7 & 4 -10 & 1 .
(ii) A imagem de tem dimensão 2 e uma base é .

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