Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. dada por .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma transformação linear que vai do espaço de polinômios de grau até 2, , para o espaço das matrizes , . A transformação é definida por:
Nosso objetivo é encontrar:
(i) Uma base e a dimensão do núcleo da transformação .
(ii) Uma base e a dimensão da imagem de .
Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando sistemas lineares.
Passo 2
Vamos começar encontrando o núcleo de . O núcleo é formado por todos os vetores do domínio que são mapeados para a matriz zero. Ou seja, queremos resolver , onde é a matriz nula.
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Começamos simplificando as equações:
\
\
\
Observamos que a equação 3 é um múltiplo da equação 1 (multiplicada por 5), então podemos descartá-la. Nosso sistema reduz para:
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira e na terceira equação:
Ambas as equações resultaram em , ou seja, .
Passo 5
Agora que temos e , podemos expressar todos os coeficientes em termos de :
Isso significa que todo polinômio no núcleo é uma múltiplo de .
Passo 6
Portanto, uma base para o núcleo de é e a dimensão do núcleo é 1, já que temos apenas um vetor na base.
Passo 7
Agora vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando a algum polinômio de . Para isso, vamos identificar as colunas geradas pelas imagens dos vetores base de .
Vamos considerar os polinômios base de : , e .
Calculamos:
Passo 8
Agora, a imagem de é o espaço gerado pelas matrizes , e . Vamos verificar se essas matrizes são lineares independentes.
Montamos uma matriz cujas colunas são as entradas das matrizes , , :
Calculamos o posto dessa matriz para determinar a dimensão da imagem. Observamos que há dependências lineares, então otimizamos para encontrar apenas as matrizes independentes.
Passo 9
Após simplificar, descobrimos que as matrizes e são suficientes para gerar a imagem de , já que pode ser expressa como uma combinação linear delas.