Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma transformação linear que vai do espaço de polinômios de grau até 2, , para o espaço das matrizes , . A transformação é definida por:
Nosso objetivo é encontrar:
(i) Uma base e a dimensão do núcleo da transformação .
(ii) Uma base e a dimensão da imagem de .
Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando sistemas lineares.

Passo 2

Vamos começar encontrando o núcleo de . O núcleo é formado por todos os vetores do domínio que são mapeados para a matriz zero. Ou seja, queremos resolver , onde é a matriz nula.
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Começamos simplificando as equações:
  1. \
  2. \
  3. \
Observamos que a equação 3 é um múltiplo da equação 1 (multiplicada por 5), então podemos descartá-la. Nosso sistema reduz para:

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira e na terceira equação:
Ambas as equações resultaram em , ou seja, .

Passo 5

Agora que temos e , podemos expressar todos os coeficientes em termos de :
Isso significa que todo polinômio no núcleo é uma múltiplo de .

Passo 6

Portanto, uma base para o núcleo de é e a dimensão do núcleo é 1, já que temos apenas um vetor na base.

Passo 7

Agora vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando a algum polinômio de . Para isso, vamos identificar as colunas geradas pelas imagens dos vetores base de .
Vamos considerar os polinômios base de : , e .
Calculamos:

Passo 8

Agora, a imagem de é o espaço gerado pelas matrizes , e . Vamos verificar se essas matrizes são lineares independentes.
Montamos uma matriz cujas colunas são as entradas das matrizes , , :
Calculamos o posto dessa matriz para determinar a dimensão da imagem. Observamos que há dependências lineares, então otimizamos para encontrar apenas as matrizes independentes.

Passo 9

Após simplificar, descobrimos que as matrizes e são suficientes para gerar a imagem de , já que pode ser expressa como uma combinação linear delas.
Portanto, uma base para a imagem de é:
E a dimensão da imagem é 2.

Resposta

(i) O núcleo de tem dimensão 1 e uma base é .
(ii) A imagem de tem dimensão 2 e uma base é .

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Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é um elemento fixo de
Seja a base canônica de . Se é dada por
Determine e .
Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é fixada.
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .