Mostre que [u, v, w]=0 ocorre se um dos vetores for nulo, dois forem colineares ou todos forem coplanares.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o produto misto [u, v, w] = 0 acontece se um dos vetores for nulo, se dois deles forem colineares ou se todos forem coplanares. Isso está relacionado ao conceito de produto vetorial e geometria vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto misto e as condições de colinearidade e coplanaridade dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores u, v e w é dado por:
[u, v, w] = u cdot (v times w)
Esse produto representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Se esse volume for zero, significa que os vetores estão todos no mesmo plano (são coplanares) ou que alguns deles são colineares ou nulos.

Passo 3

Vamos analisar a primeira condição: se um dos vetores for nulo. Suponha que u = 0. Então:
[0, v, w] = 0 cdot (v times w) = 0
Isso porque o produto escalar de qualquer vetor com o vetor nulo é zero. Portanto, o produto misto é zero se qualquer vetor for nulo.

Passo 4

Agora, vamos ver a segunda condição: se dois vetores são colineares. Suponha que u e v sejam colineares, ou seja, existe um escalar lambda tal que u = lambda v. Então:
[u, v, w] = lambda v cdot (v times w)
Mas sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero:
v times w = 0 se u e v são colineares ã
Portanto:
[u, v, w] = lambda v cdot 0 = 0
Então, se dois vetores forem colineares, o produto misto também é zero.

Passo 5

Por último, vamos considerar que todos os vetores são coplanares. Se três vetores estão no mesmo plano, o volume do paralelepípedo que eles formam é zero, ou seja:
[u, v, w] = 0
Isso ocorre porque não há “altura” perpendicular ao plano para formar um volume.

Resposta

Assim, mostramos que [u, v, w] = 0 ocorre se um dos vetores é nulo, se dois são colineares ou se todos são coplanares.

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