Seja
a transformação linear definida por
.
Verifique se os seguintes polinômios pertencem ao
e/ou à
:
Verifique se os seguintes polinômios pertencem ao
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que a questão está pedindo? Temos uma transformação linear
que transforma um polinômio de segundo grau em outro polinômio de segundo grau. Precisamos verificar se os polinômios
,
e
estão no núcleo de
(ou seja, se
) e se estão na imagem de
(ou seja, se existe algum polinômio que, ao aplicar
, resulta no polinômio dado). Para isso, vamos precisar entender como
funciona e aplicar alguns conceitos de transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo
. O núcleo é o conjunto de todos os polinômios
em
que, ao serem transformados por
, resultam no polinômio zero. Matemáticamente,
.
Vamos aplicar
a cada polinômio e ver se o resultado é zero.
i.
Para
, os coeficientes são
,
e
. Aplicando
:
Como
, o polinômio
está no núcleo
.
ii.
Para
, os coeficientes são
,
e
. Aplicando
:
Como
, o polinômio
não está no núcleo
.
iii.
Para
, os coeficientes são
,
e
. Aplicando
:
Como
, o polinômio
não está no núcleo
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os polinômios estão na imagem
. A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando
a algum polinômio de
. Ou seja, para cada polinômio
, precisamos ver se existe um polinômio
tal que
.
i.
Queremos encontrar
tal que:
Isso implica que:
Observamos que o lado esquerdo é um polinômio que sempre terá o termo
ou
, mas o lado direito é uma constante. Não há valores de
e
que satisfaçam essa igualdade para todos os valores de
. Portanto, não existe tal polinômio
, e
não está na imagem
.
ii.
Queremos encontrar
tal que:
Isso implica que:
Comparando os coeficientes de ambos os lados:
- Coeficiente de
: → - Coeficiente de
:
O valor de
pode ser qualquer número real, já que ele não afeta a transformação. Portanto, existe um polinômio
que satisfaz
. Assim,
está na imagem
.
iii.
Queremos encontrar
tal que:
Isso implica que:
Comparando os coeficientes de ambos os lados:
- Coeficiente de
: → - Coeficiente de
:
O valor de
pode ser qualquer número real. No entanto, ao substituir esses valores de
e
no polinômio
, temos:
Aplicando
:
Vemos que
e não
. Portanto, não há um polinômio
que satisfaça
, e
não está na imagem
.
Resposta
i.
pertence a
e não está em
.
ii.
não pertence a
e está em
.
iii.
não pertence a
e não está em
.
Exercícios relacionados
Encontre a lei de uma transformação linear
tal que
e
.
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por
.
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Determine uma base e a dimensão para o Núcleo e para a Imagem da transformação linear
que satisfaz
e
.