Seja a transformação linear definida por .
Verifique se os seguintes polinômios pertencem ao e/ou à :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que a questão está pedindo? Temos uma transformação linear que transforma um polinômio de segundo grau em outro polinômio de segundo grau. Precisamos verificar se os polinômios , e estão no núcleo de (ou seja, se ) e se estão na imagem de (ou seja, se existe algum polinômio que, ao aplicar , resulta no polinômio dado). Para isso, vamos precisar entender como funciona e aplicar alguns conceitos de transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios em que, ao serem transformados por , resultam no polinômio zero. Matemáticamente, .
Vamos aplicar a cada polinômio e ver se o resultado é zero.
i.
Para , os coeficientes são , e . Aplicando :
Como , o polinômio está no núcleo .
ii.
Para , os coeficientes são , e . Aplicando :
Como , o polinômio não está no núcleo .
iii.
Para , os coeficientes são , e . Aplicando :
Como , o polinômio não está no núcleo .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os polinômios estão na imagem . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando a algum polinômio de . Ou seja, para cada polinômio , precisamos ver se existe um polinômio tal que .
i.
Queremos encontrar tal que:
Isso implica que:
Observamos que o lado esquerdo é um polinômio que sempre terá o termo ou , mas o lado direito é uma constante. Não há valores de e que satisfaçam essa igualdade para todos os valores de . Portanto, não existe tal polinômio , e não está na imagem .
ii.
Queremos encontrar tal que:
Isso implica que:
Comparando os coeficientes de ambos os lados:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
O valor de pode ser qualquer número real, já que ele não afeta a transformação. Portanto, existe um polinômio que satisfaz . Assim, está na imagem .
iii.
Queremos encontrar tal que:
Isso implica que:
Comparando os coeficientes de ambos os lados:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
O valor de pode ser qualquer número real. No entanto, ao substituir esses valores de e no polinômio , temos:
Aplicando :
Vemos que e não . Portanto, não há um polinômio que satisfaça , e não está na imagem .

Resposta

i. pertence a e não está em .
ii. não pertence a e está em .
iii. não pertence a e não está em .

Exercícios relacionados

Encontre a lei de uma transformação linear tal que e .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Determine uma base e a dimensão para o Núcleo e para a Imagem da transformação linear que satisfaz e .