Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é um elemento fixo de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação , definida por , é linear. Estamos trabalhando com espaços de funções contínuas, e para verificar se uma transformação é linear, precisamos checar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa aditividade. A transformação é aditiva se, para quaisquer duas funções e em , a seguinte igualdade vale:
Vamos calcular cada lado da equação:
Como ambos os lados são iguais, a transformação satisfaz a propriedade da aditividade.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. A transformação é homogênea se, para qualquer função em e qualquer escalar , a seguinte igualdade vale:
Vamos calcular cada lado da equação:
Novamente, os dois lados são iguais, então a transformação também satisfaz a propriedade da homogeneidade.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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Seja a base canônica de . Se é dada por
Determine e .
Em , considere .
© Se , quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é fixada.