Verifique se as transformações abaixo são lineares: F: C([0,1]) C([0,1]), F(f(t))=f(t) varphi(t), onde varphi(t) é um elemento fixo de C([0,1])

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação , definida por , é linear. Estamos trabalhando com espaços de funções contínuas, e para verificar se uma transformação é linear, precisamos checar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa aditividade. A transformação F(f(t) + g(t)) = F(f(t)) + F(g(t)) é aditiva se, para quaisquer duas funções F(f(t) + g(t)) = (f(t) + g(t)) varphi(t) = f(t)varphi(t) + g(t)varphi(t) e F(f(t)) + F(g(t)) = f(t)varphi(t) + g(t)varphi(t) em , a seguinte igualdade vale:
Vamos calcular cada lado da equação:
Como ambos os lados são iguais, a transformação satisfaz a propriedade da aditividade.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. A transformação F(c cdot f(t)) = c cdot F(f(t)) é homogênea se, para qualquer função F(c cdot f(t)) = (c cdot f(t)) varphi(t) = c cdot (f(t)varphi(t)) em c cdot F(f(t)) = c cdot (f(t)varphi(t)) e qualquer escalar , a seguinte igualdade vale:
Vamos calcular cada lado da equação:
Novamente, os dois lados são iguais, então a transformação também satisfaz a propriedade da homogeneidade.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.

Exercícios relacionados