Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde
é um elemento fixo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação
, definida por
, é linear. Estamos trabalhando com espaços de funções contínuas, e para verificar se uma transformação é linear, precisamos checar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa aditividade. A transformação
é aditiva se, para quaisquer duas funções
e
em
, a seguinte igualdade vale:
Vamos calcular cada lado da equação:
Como ambos os lados são iguais, a transformação
satisfaz a propriedade da aditividade.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. A transformação
é homogênea se, para qualquer função
em
e qualquer escalar
, a seguinte igualdade vale:
Vamos calcular cada lado da equação:
Novamente, os dois lados são iguais, então a transformação
também satisfaz a propriedade da homogeneidade.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.