Seja beta a base canônica de M(2,2). Se T: M(2,2) P3 é dada por
T([ll a & b c & d ])=a+(b+c) x+(c-d) x^2+d x^3
Determine dim N(T) e dim Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que achar a dimensão do núcleo (N(T)) e da imagem (Im(T)) de uma transformação linear que vai de matrizes para polinômios de grau até 3. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo e imagem de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação a & b c & d . Ela pega uma matriz e transforma em um polinômio .

Passo 3

Para achar a + (b + c)x + (c - d)x^2 + dx^3 = 0 , precisamos encontrar todas as matrizes que são mapeadas para o polinômio zero. Ou seja, queremos resolver:
a = 0 b + c = 0 c - d = 0 d = 0
Isso significa que os coeficientes de cada potência de devem ser zero:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. (já temos )
  2. Substituindo na terceira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:
  4. Já sabemos que

Passo 5

Então, a única solução para esse sistema é . Isso significa que o núcleo contém apenas a matriz zero.

Passo 6

Agora, como dim M(2,2) = dim N(T) + dim Im(T) tem dimensão 0 (apenas a matriz zero), podemos usar o Teorema da Dimensão, que diz:
Sabemos que .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
4 = 0 + dim Im(T) Rightarrow dim Im(T) = 4

Resposta

A dimensão do núcleo de é 0 e a dimensão da imagem de é 4.

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