Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que achar a dimensão do núcleo (N(T)) e da imagem (Im(T)) de uma transformação linear que vai de matrizes para polinômios de grau até 3. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo e imagem de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação . Ela pega uma matriz e transforma em um polinômio .
Passo 3
Para achar , precisamos encontrar todas as matrizes que são mapeadas para o polinômio zero. Ou seja, queremos resolver:
Isso significa que os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações:
(já temos )
Substituindo na terceira equação: ⇒
Substituindo na segunda equação: ⇒
Já sabemos que
Passo 5
Então, a única solução para esse sistema é . Isso significa que o núcleo contém apenas a matriz zero.
Passo 6
Agora, como tem dimensão 0 (apenas a matriz zero), podemos usar o Teorema da Dimensão, que diz:
Sabemos que .
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Resposta
A dimensão do núcleo de é 0 e a dimensão da imagem de é 4.