Seja a base canônica de . Se é dada por
Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que achar a dimensão do núcleo (N(T)) e da imagem (Im(T)) de uma transformação linear que vai de matrizes para polinômios de grau até 3. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo e imagem de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação . Ela pega uma matriz e transforma em um polinômio .

Passo 3

Para achar , precisamos encontrar todas as matrizes que são mapeadas para o polinômio zero. Ou seja, queremos resolver:
Isso significa que os coeficientes de cada potência de devem ser zero:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. (já temos )
  2. Substituindo na terceira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:
  4. Já sabemos que

Passo 5

Então, a única solução para esse sistema é . Isso significa que o núcleo contém apenas a matriz zero.

Passo 6

Agora, como tem dimensão 0 (apenas a matriz zero), podemos usar o Teorema da Dimensão, que diz:
Sabemos que .

Passo 7

Substituindo na fórmula:

Resposta

A dimensão do núcleo de é 0 e a dimensão da imagem de é 4.

Exercícios relacionados

Em , considere .
© Se , quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é um elemento fixo de
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .