Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
25a
f: R^3 R^2 em que f(x, y, z)=(x+y, 2 x-y+z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo (conjunto de soluções que passam pelo zero) e da imagem (tudo que a transformação consegue alcançar). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaços vetoriais e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da transformação. O núcleo consiste em todos os vetores x + y = 0 2x - y + z = 0 em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver o sistema:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem essas equações.

Passo 3

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: 2x - (-x) + z = 0 Rightarrow 2x + x + z = 0 Rightarrow 3x + z = 0 Rightarrow z = -3x .
  2. Substituindo na segunda equação:
Então, temos que e .

Passo 4

Podemos expressar os vetores do núcleo em termos de (x, y, z) = (x, -x, -3x) = x cdot (1, -1, -3) :
Isso mostra que todo vetor no núcleo é múltiplo do vetor . Portanto, o núcleo é gerado por esse vetor.

Passo 5

Agora, vamos determinar a base e a dimensão do núcleo.
  • A base do núcleo é .
  • Como há apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.

Passo 6

Em seguida, vamos encontrar a imagem da transformação. A imagem é o conjunto de todos os vetores em A = 1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 que podem ser obtidos por .
Podemos representar a transformação linear pela matriz:
Para encontrar a imagem, queremos determinar quais combinações lineares das colunas dessa matriz formam o espaço imagem.

Passo 7

Vamos verificar se as colunas da matriz são linearmente independentes:
1 2 , 1 -1 , 0 1
Observamos que nenhuma coluna é múltiplo exato de outra, mas precisamos ver se alguma combinação linear delas pode gerar as outras. No caso, as colunas são linearmente independentes até o número máximo possível, que é o mínimo entre o número de colunas e linhas, ou seja, 2.

Passo 8

Portanto, a imagem é gerada pelas duas primeiras colunas da matriz Ima>=m = span 1 2 , 1 -1 :
Isso significa que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 9

Vamos determinar a base e a dimensão da imagem:
  • A base da imagem é 1 2 .
  • Como são dois vetores linearmente independentes, a dimensão da imagem é 2.

Resposta

A base do núcleo é 1 2 com dimensão 1, e a base da imagem é 1 -1 com dimensão 2.

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