Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
25a
em que
25a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo (conjunto de soluções que passam pelo zero) e da imagem (tudo que a transformação consegue alcançar). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaços vetoriais e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da transformação. O núcleo consiste em todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja, queremos resolver o sistema:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
que satisfazem essas equações.
Passo 3
Vamos resolver o sistema:
- Da primeira equação:
→ . - Substituindo
na segunda equação:
Então, temos que
e
.
Passo 4
Podemos expressar os vetores do núcleo em termos de
:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é múltiplo do vetor
. Portanto, o núcleo é gerado por esse vetor.
Passo 5
Agora, vamos determinar a base e a dimensão do núcleo.
- A base do núcleo é
. - Como há apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.
Passo 6
Em seguida, vamos encontrar a imagem da transformação. A imagem é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos por
.
Podemos representar a transformação linear pela matriz:
Para encontrar a imagem, queremos determinar quais combinações lineares das colunas dessa matriz formam o espaço imagem.
Passo 7
Vamos verificar se as colunas da matriz são linearmente independentes:
Observamos que nenhuma coluna é múltiplo exato de outra, mas precisamos ver se alguma combinação linear delas pode gerar as outras. No caso, as colunas são linearmente independentes até o número máximo possível, que é o mínimo entre o número de colunas e linhas, ou seja, 2.
Passo 8
Portanto, a imagem é gerada pelas duas primeiras colunas da matriz
:
Isso significa que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 9
Vamos determinar a base e a dimensão da imagem:
- A base da imagem é
. - Como são dois vetores linearmente independentes, a dimensão da imagem é 2.
Resposta
A base do núcleo é
com dimensão 1, e a base da imagem é
com dimensão 2.