Estime a reta de regressão . Usando
a. O método de Gauss-Jordan para resolver o sistema .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estimar a reta de regressão usando o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema . Isso está dentro do conteúdo de Regressão Linear no assunto de Estatística. Vamos precisar montar a matriz , calcular e , e então aplicar o método de Gauss-Jordan para encontrar os estimadores e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar a matriz . Para uma regressão linear simples, é uma matriz com uma coluna de 1s (para o intercepto ) e uma coluna com os valores de . Então, se tivermos observações, será uma matriz .
Passo 3
Agora, vamos calcular X^top X = n & sum xi sum xi & sum xi^2 . A transposta de , , é uma matriz . Multiplicando por , obtemos uma matriz :
Passo 4
Em seguida, calculamos X^top Y = sum Yi sum xi Yi . Multiplicando pela matriz (que é um vetor coluna com os valores de ), obtemos um vetor :
Passo 5
Agora, temos o sistema linear n & sum xi sum xi & sum xi^2 widehatbeta0 widehatbeta1 = sum Yi sum xi Yi , que pode ser escrito como:
[
]
Passo 6
Vamos montar a matriz aumentada para aplicar o método de Gauss-Jordan:
[ cc|c n & sum xi & sum Yi sum xi & sum xi^2 & sum xi Yi ]
Passo 7
Aplicando o método de Gauss-Jordan, o objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada em uma matriz identidade. Isso envolve manipular as linhas para zerar os elementos abaixo e acima dos pivôs.
Primeiro, dividimos a primeira linha por [ cc|c 1 & sum xin & sum Yin sum xi & sum xi^2 & sum xi Yi ] para que o primeiro elemento seja 1:
Passo 8
Em seguida, subtraímos [ cc|c 1 & sum xin & sum Yin 0 & sum xi^2 - (sum xi)^2n & sum xi Yi - sum xi sum Yin ] vezes a primeira linha da segunda linha para zerar o elemento abaixo do pivô:
Passo 9
Agora, dividimos a segunda linha pelo coeficiente de [ cc|c 1 & sum xin & sum Yin 0 & 1 & sum xi Yi - sum xi sum Yinsum xi^2 - (sum xi)^2n ] para obter 1 como pivô:
Passo 10
Finalmente, subtraímos [ cc|c 1 & 0 & sum Yin - sum xin cdot widehatbeta1 0 & 1 & widehatbeta1 ] vezes a segunda linha da primeira linha para zerar o elemento acima do pivô na primeira coluna:
Resposta
Assim, os estimadores da reta de regressão são:
widehatbeta1 = sum (xi Yi) - sum xi sum Yinsum xi^2 - (sum xi)^2n
widehatbeta0 = sum Yin - sum xin cdot widehatbeta1